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Aufgabe (i-te Potenz)Bearbeiten

Berechnen Sie: $ i^{i} $

TippsBearbeiten

Benutzen Sie die Definition der allgemeinen b-ten Potenz mittels des Hauptzweigs des Logarithmus.

Lösung 1Bearbeiten

Ist $ G $ einfach zusammenhängend, $ b \in \mathbb{C} $, $ f \in H(G) $ und $ f(z) \neq 0 \ \ \forall z \in G $, so ist ein Zweig der b-ten Potenz von f mittels eines Logarithmus $ g \in H(G) $ von $ f $ (d.h. $ f(z) = e^{g(z)} \ \ \forall z \in G $) erklärt:

$ (f(z))^{b} := e^{b[g(z)+2k \pi i]} $ für ein $ k \in \mathbb{Z} $

Für $ b = \frac{1}{2} $ erhält man z.B. einen (injektiven) Zweig der Quadratwurzel von $ f $.

Nun zur i-ten Potenz:

$ i = e^{i \frac{\pi}{2}} \Rightarrow i^{i} = e^{i[i \frac{\pi}{2} + 2k \pi i]} = e^{[-\frac{\pi}{2} - 2k \pi]} $

Der Hauptwert ist also:

$ i^{i} := e^{-\frac{\pi}{2}} \ \ (k:=0) $

Lösung 2Bearbeiten

Die allgemeine Potenz ist über den Hauptzweig des Logarithmus, $ \log:\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-_0\to\mathbb{C} $, $ \log\left(r\,e^{i\phi}\right)=i\phi+\log r $, für $ r>0 $, $ \phi\in(-\pi,\pi) $, definiert als

$ a^b=\exp(b\log a),\ b\in\mathbb{C},\ a\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-_0 $.

$ \log $ ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion $ \exp(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!} $, eingeschränkt auf $ z\in\mathbb{R}+i(-\pi,\pi)\subset\mathbb{C} $. Somit ist

$ i^i=e^{i\log i}=e^{i\log(\exp(i\frac{\pi}2))}=e^{-\frac{\pi}2}\approx0.20788 $,

wobei $ e^z=\exp(z) $ mit $ e=\exp(1) $.

SuchbegriffeBearbeiten

allgemeine Potenz, Potenz-Zweige, Zweig des Logarithmus, Hauptzweig, Hauptwert, komplexe Potenz

QuellenBearbeiten

Aufgabe stammt aus vorlesungsbegleitenden Übungen.

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