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Aufgabe (i-te Potenz)Bearbeiten

Berechnen Sie: i^{i}

TippsBearbeiten

Benutzen Sie die Definition der allgemeinen b-ten Potenz mittels des Hauptzweigs des Logarithmus.

Lösung 1Bearbeiten

Ist G einfach zusammenhängend, b \in \mathbb{C}, f \in H(G) und f(z) \neq 0 \ \ \forall z \in G, so ist ein Zweig der b-ten Potenz von f mittels eines Logarithmus g \in H(G) von f (d.h. f(z) = e^{g(z)} \ \ \forall z \in G) erklärt:

(f(z))^{b} := e^{b[g(z)+2k \pi i]} für ein k \in \mathbb{Z}

Für b = \frac{1}{2} erhält man z.B. einen (injektiven) Zweig der Quadratwurzel von f.

Nun zur i-ten Potenz:

i = e^{i \frac{\pi}{2}} \Rightarrow i^{i} = e^{i[i \frac{\pi}{2} + 2k \pi i]} = e^{[-\frac{\pi}{2} - 2k \pi]}

Der Hauptwert ist also:

i^{i} := e^{-\frac{\pi}{2}} \ \ (k:=0)

Lösung 2Bearbeiten

Die allgemeine Potenz ist über den Hauptzweig des Logarithmus, \log:\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-_0\to\mathbb{C}, \log\left(r\,e^{i\phi}\right)=i\phi+\log r, für r>0, \phi\in(-\pi,\pi), definiert als

a^b=\exp(b\log a),\ b\in\mathbb{C},\ a\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-_0.

\log ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion \exp(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}, eingeschränkt auf z\in\mathbb{R}+i(-\pi,\pi)\subset\mathbb{C}. Somit ist

i^i=e^{i\log i}=e^{i\log(\exp(i\frac{\pi}2))}=e^{-\frac{\pi}2}\approx0.20788,

wobei e^z=\exp(z) mit e=\exp(1).

SuchbegriffeBearbeiten

allgemeine Potenz, Potenz-Zweige, Zweig des Logarithmus, Hauptzweig, Hauptwert, komplexe Potenz

QuellenBearbeiten

Aufgabe stammt aus vorlesungsbegleitenden Übungen.

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