FANDOM


Allgemeines Parameterintegral mit SingularitätenBearbeiten

Für das Polynom $ p_\epsilon(r)=c(\epsilon)\prod\limits_{i=0}^{n-1}(r-r_i(\epsilon)) $ gelte $ p_\epsilon(r)>0\, $ für $ r\in(r_0(\epsilon),r_1(\epsilon))\neq\emptyset $, und $ r_i(\epsilon)\not\in[r_0(\epsilon),r_1(\epsilon)] $ für $ i=2,\dots,n-1 $. Alle Funktionen von $ \epsilon\, $ sind differenzierbar.

Bestimme einen möglichst einfachen Ausdruck für die Ableitung des Parameterintegrals

$ F(\epsilon)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{\sqrt{p_\epsilon(r)}} $.

TippsBearbeiten

Man transformiere affin auf feste Grenzen.

LösungBearbeiten

Der Integrand ist integrierbar auf dem Intervall, da die inversen Wurzelsingularitäten an den Rändern integrierbar sind. Die $ \epsilon\, $-Abhängigkeit wird im folgenden weitgehend wegelassen, um die Übersichtlichkeit zu steigern. Wir transformieren auf das Interval $ [0,1]\, $ durch $ \rho=\frac{r-r_0}{r_1-r_0} $, bzw. $ r=(1-\rho)r_0+\rho r_1\, $. Es ist

$ F(\epsilon)=(r_1-r_0)\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c(r_1-r_0)\rho(r_1-r_0)(1-\rho) \prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}} $
$ =\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}} =\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}. $

Also $ q(\rho)=\textstyle\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i) $, mit den partiellen Ableitungen

$ \partial_{r_0}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{1-\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}, $
$ \partial_{r_1}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}, $
$ \partial_{r_i}q(\rho)=-q(\rho)\frac{1}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}. $

Dann ist

$ F'(\epsilon)=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}^3} \left(c'\rho(1-\rho)q(\rho)+c\rho(1-\rho)\left(r_0'\partial_{r_0}q+r_1'\partial_{r_1}q +\sum_{i\geq2}r_i'\partial_{r_i}q\right)\right) $
$ =\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}\left(\frac{c'}{c} +\sum_{i\geq2}\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}\right). $

Die Ableitung des Integranden nach $ \epsilon\, $ besitzt wieder nur inverse Wurzelsingularitäten an den Rändern, ist also auch integrierbar. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

Für die Rücktransformation berechnen wir

$ \frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i} =\frac{\frac{r_1-r}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i} =\frac{r_1r_0'-r_0r_1'-(r_1-r_0)r_i'+r(r_1'-r_0')}{(r_1-r_0)(r-r_i)} $
$ =\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{(r_1-r_i)r_0'+(r_i-r_0)r_1'}{(r_1-r_0)(r-r_i)}-\frac{r_i'}{r-r_i} $
$ =\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i}. $

Also

$ F'(\epsilon)=\left(\frac{c'}{c}+(n-2)\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2\sqrt{p_\epsilon(r)}} +\sum\limits_{i\geq2}^{n-1}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}} $
$ =\left(\frac{c'}{2c}+\frac{n-2}2\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right)F(\epsilon) +\sum\limits_{i\geq2}^{n-1}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}} $.

SuchbegriffeBearbeiten

Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

ähnliche AufgabenBearbeiten

Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.