Allgemeines Parameterintegral mit Singularitäten [ ]
Für das Polynom
p
ϵ
(
r
)
=
c
(
ϵ
)
∏
i
=
0
n
−
1
(
r
−
r
i
(
ϵ
)
)
{\displaystyle p_\epsilon(r)=c(\epsilon)\prod\limits_{i=0}^{n-1}(r-r_i(\epsilon))}
gelte
p
ϵ
(
r
)
>
0
{\displaystyle p_\epsilon(r)>0\,}
für
r
∈
(
r
0
(
ϵ
)
,
r
1
(
ϵ
)
)
≠
∅
{\displaystyle r\in(r_0(\epsilon),r_1(\epsilon))\neq\emptyset}
, und
r
i
(
ϵ
)
∉
[
r
0
(
ϵ
)
,
r
1
(
ϵ
)
]
{\displaystyle r_i(\epsilon)\not\in[r_0(\epsilon),r_1(\epsilon)]}
für
i
=
2
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle i=2,\dots,n-1}
. Alle Funktionen von
ϵ
{\displaystyle \epsilon\,}
sind differenzierbar.
Bestimme einen möglichst einfachen Ausdruck für die Ableitung des Parameterintegrals
F
(
ϵ
)
=
∫
r
0
r
1
d
r
p
ϵ
(
r
)
{\displaystyle F(\epsilon)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{\sqrt{p_\epsilon(r)}}
}
.
Tipps [ ]
Man transformiere affin auf feste Grenzen.
Lösung [ ]
Der Integrand ist integrierbar auf dem Intervall, da die inversen Wurzelsingularitäten an den Rändern integrierbar sind.
Die
ϵ
{\displaystyle \epsilon\,}
-Abhängigkeit wird im folgenden weitgehend wegelassen, um die Übersichtlichkeit zu steigern. Wir transformieren auf das Interval
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]\,}
durch
ρ
=
r
−
r
0
r
1
−
r
0
{\displaystyle \rho=\frac{r-r_0}{r_1-r_0}}
, bzw.
r
=
(
1
−
ρ
)
r
0
+
ρ
r
1
{\displaystyle r=(1-\rho)r_0+\rho r_1\,}
. Es ist
F
(
ϵ
)
=
(
r
1
−
r
0
)
∫
0
1
d
ρ
c
(
r
1
−
r
0
)
ρ
(
r
1
−
r
0
)
(
1
−
ρ
)
∏
i
≥
2
(
(
1
−
ρ
)
r
0
+
ρ
r
1
−
r
i
)
{\displaystyle F(\epsilon)=(r_1-r_0)\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c(r_1-r_0)\rho(r_1-r_0)(1-\rho) \prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}}
=
∫
0
1
d
ρ
c
ρ
(
1
−
ρ
)
∏
i
≥
2
(
(
1
−
ρ
)
r
0
+
ρ
r
1
−
r
i
)
=
∫
0
1
d
ρ
c
ρ
(
1
−
ρ
)
q
(
ρ
)
.
{\displaystyle =\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}
=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}.}
Also
q
(
ρ
)
=
∏
i
≥
2
(
(
1
−
ρ
)
r
0
+
ρ
r
1
−
r
i
)
{\displaystyle q(\rho)=\textstyle\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}
, mit den partiellen Ableitungen
∂
r
0
q
(
ρ
)
=
q
(
ρ
)
∑
i
≥
2
1
−
ρ
(
1
−
ρ
)
r
0
+
ρ
r
1
−
r
i
,
{\displaystyle \partial_{r_0}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{1-\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},}
∂
r
1
q
(
ρ
)
=
q
(
ρ
)
∑
i
≥
2
ρ
(
1
−
ρ
)
r
0
+
ρ
r
1
−
r
i
,
{\displaystyle \partial_{r_1}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},}
∂
r
i
q
(
ρ
)
=
−
q
(
ρ
)
1
(
1
−
ρ
)
r
0
+
ρ
r
1
−
r
i
.
{\displaystyle \partial_{r_i}q(\rho)=-q(\rho)\frac{1}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}.}
Dann ist
F
′
(
ϵ
)
=
∫
0
1
d
ρ
2
c
ρ
(
1
−
ρ
)
q
(
ρ
)
3
(
c
′
ρ
(
1
−
ρ
)
q
(
ρ
)
+
c
ρ
(
1
−
ρ
)
(
r
0
′
∂
r
0
q
+
r
1
′
∂
r
1
q
+
∑
i
≥
2
r
i
′
∂
r
i
q
)
)
{\displaystyle F'(\epsilon)=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}^3} \left(c'\rho(1-\rho)q(\rho)+c\rho(1-\rho)\left(r_0'\partial_{r_0}q+r_1'\partial_{r_1}q +\sum_{i\geq2}r_i'\partial_{r_i}q\right)\right)}
=
∫
0
1
d
ρ
2
c
ρ
(
1
−
ρ
)
q
(
ρ
)
(
c
′
c
+
∑
i
≥
2
(
1
−
ρ
)
r
0
′
+
ρ
r
1
′
−
r
i
′
(
1
−
ρ
)
r
0
+
ρ
r
1
−
r
i
)
.
{\displaystyle =\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}\left(\frac{c'}{c} +\sum_{i\geq2}\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}\right).}
Die Ableitung des Integranden nach
ϵ
{\displaystyle \epsilon\,}
besitzt wieder nur inverse Wurzelsingularitäten an den Rändern, ist also auch integrierbar. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.
Für die Rücktransformation berechnen wir
(
1
−
ρ
)
r
0
′
+
ρ
r
1
′
−
r
i
′
(
1
−
ρ
)
r
0
+
ρ
r
1
−
r
i
=
r
1
−
r
r
1
−
r
0
r
0
′
+
r
−
r
0
r
1
−
r
0
r
1
′
−
r
i
′
r
−
r
i
=
r
1
r
0
′
−
r
0
r
1
′
−
(
r
1
−
r
0
)
r
i
′
+
r
(
r
1
′
−
r
0
′
)
(
r
1
−
r
0
)
(
r
−
r
i
)
{\displaystyle \frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i} =\frac{\frac{r_1-r}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i} =\frac{r_1r_0'-r_0r_1'-(r_1-r_0)r_i'+r(r_1'-r_0')}{(r_1-r_0)(r-r_i)}}
=
r
1
′
−
r
0
′
r
1
−
r
0
+
(
r
1
−
r
i
)
r
0
′
+
(
r
i
−
r
0
)
r
1
′
(
r
1
−
r
0
)
(
r
−
r
i
)
−
r
i
′
r
−
r
i
{\displaystyle =\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{(r_1-r_i)r_0'+(r_i-r_0)r_1'}{(r_1-r_0)(r-r_i)}-\frac{r_i'}{r-r_i}}
=
r
1
′
−
r
0
′
r
1
−
r
0
+
r
1
−
r
i
r
1
−
r
0
r
0
′
+
r
i
−
r
0
r
1
−
r
0
r
1
′
−
r
i
′
r
−
r
i
.
{\displaystyle =\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i}.}
Also
F
′
(
ϵ
)
=
(
c
′
c
+
(
n
−
2
)
r
1
′
−
r
0
′
r
1
−
r
0
)
∫
r
0
r
1
d
r
2
p
ϵ
(
r
)
+
∑
i
≥
2
n
−
1
(
r
1
−
r
i
r
1
−
r
0
r
0
′
+
r
i
−
r
0
r
1
−
r
0
r
1
′
−
r
i
′
)
∫
r
0
r
1
d
r
2
(
r
−
r
i
)
p
ϵ
(
r
)
{\displaystyle F'(\epsilon)=\left(\frac{c'}{c}+(n-2)\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2\sqrt{p_\epsilon(r)}} +\sum\limits_{i\geq2}^{n-1}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}}
=
(
c
′
2
c
+
n
−
2
2
r
1
′
−
r
0
′
r
1
−
r
0
)
F
(
ϵ
)
+
∑
i
≥
2
n
−
1
(
r
1
−
r
i
r
1
−
r
0
r
0
′
+
r
i
−
r
0
r
1
−
r
0
r
1
′
−
r
i
′
)
∫
r
0
r
1
d
r
2
(
r
−
r
i
)
p
ϵ
(
r
)
{\displaystyle =\left(\frac{c'}{2c}+\frac{n-2}2\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right)F(\epsilon) +\sum\limits_{i\geq2}^{n-1}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}}
.
Suchbegriffe [ ]
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung
ähnliche Aufgaben [ ]
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.