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Allgemeines Parameterintegral mit SingularitätenBearbeiten

Für das Polynom p_\epsilon(r)=c(\epsilon)\prod\limits_{i=0}^{n-1}(r-r_i(\epsilon)) gelte p_\epsilon(r)>0\, für r\in(r_0(\epsilon),r_1(\epsilon))\neq\emptyset, und r_i(\epsilon)\not\in[r_0(\epsilon),r_1(\epsilon)] für i=2,\dots,n-1. Alle Funktionen von \epsilon\, sind differenzierbar.

Bestimme einen möglichst einfachen Ausdruck für die Ableitung des Parameterintegrals

F(\epsilon)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{\sqrt{p_\epsilon(r)}}
.

TippsBearbeiten

Man transformiere affin auf feste Grenzen.

LösungBearbeiten

Der Integrand ist integrierbar auf dem Intervall, da die inversen Wurzelsingularitäten an den Rändern integrierbar sind. Die \epsilon\,-Abhängigkeit wird im folgenden weitgehend wegelassen, um die Übersichtlichkeit zu steigern. Wir transformieren auf das Interval [0,1]\, durch \rho=\frac{r-r_0}{r_1-r_0}, bzw. r=(1-\rho)r_0+\rho r_1\,. Es ist

F(\epsilon)=(r_1-r_0)\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c(r_1-r_0)\rho(r_1-r_0)(1-\rho) \prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}
=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}
=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}.

Also q(\rho)=\textstyle\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i), mit den partiellen Ableitungen

\partial_{r_0}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{1-\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},
\partial_{r_1}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},
\partial_{r_i}q(\rho)=-q(\rho)\frac{1}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}.

Dann ist

F'(\epsilon)=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}^3} \left(c'\rho(1-\rho)q(\rho)+c\rho(1-\rho)\left(r_0'\partial_{r_0}q+r_1'\partial_{r_1}q +\sum_{i\geq2}r_i'\partial_{r_i}q\right)\right)
=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}\left(\frac{c'}{c} +\sum_{i\geq2}\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}\right).

Die Ableitung des Integranden nach \epsilon\, besitzt wieder nur inverse Wurzelsingularitäten an den Rändern, ist also auch integrierbar. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

Für die Rücktransformation berechnen wir

\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i} =\frac{\frac{r_1-r}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i} =\frac{r_1r_0'-r_0r_1'-(r_1-r_0)r_i'+r(r_1'-r_0')}{(r_1-r_0)(r-r_i)}
=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{(r_1-r_i)r_0'+(r_i-r_0)r_1'}{(r_1-r_0)(r-r_i)}-\frac{r_i'}{r-r_i}
=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i}.

Also

F'(\epsilon)=\left(\frac{c'}{c}+(n-2)\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2\sqrt{p_\epsilon(r)}} +\sum\limits_{i\geq2}^{n-1}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}
=\left(\frac{c'}{2c}+\frac{n-2}2\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right)F(\epsilon) +\sum\limits_{i\geq2}^{n-1}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}.

SuchbegriffeBearbeiten

Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

ähnliche AufgabenBearbeiten

Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

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