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Allgemeines Parameterintegral mit Singularitäten[]

Für das Polynom gelte für , und für . Alle Funktionen von sind differenzierbar.

Bestimme einen möglichst einfachen Ausdruck für die Ableitung des Parameterintegrals

.

Tipps[]

Man transformiere affin auf feste Grenzen.

Lösung[]

Der Integrand ist integrierbar auf dem Intervall, da die inversen Wurzelsingularitäten an den Rändern integrierbar sind. Die -Abhängigkeit wird im folgenden weitgehend wegelassen, um die Übersichtlichkeit zu steigern. Wir transformieren auf das Interval durch , bzw. . Es ist

Also , mit den partiellen Ableitungen

Dann ist

Die Ableitung des Integranden nach besitzt wieder nur inverse Wurzelsingularitäten an den Rändern, ist also auch integrierbar. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

Für die Rücktransformation berechnen wir

Also

.

Suchbegriffe[]

Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

ähnliche Aufgaben[]

Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

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