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AufgabenstellungBearbeiten

Es seien $ X,Y $ metrische Räume und es sei $ f:X\rightarrow Y $ eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei $ (x_n)_{n\in\mathbb{N}} $ eine Cauchy-Folge in $ X $.

Man zeige: $ (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}} $ ist dann eine Cauchy-Folge in $ Y $.


TippBearbeiten

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


Lösung 1Bearbeiten

Zunächst zu den Definitionen:

$ f $ ist gleichmäßig stetig auf $ X $

$ \Leftrightarrow(\forall\epsilon >0:\exists\delta >0:\forall x,y\in X:\vert x,y\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x),f(y)\vert <\epsilon) $


$ (x_n) $ ist eine Cauchy-Folge

$ \Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert <\epsilon_0 $


Sei nun $ \epsilon > 0 $ beliebig vorgegeben und ein entsprechendes $ \delta >0 $ gefunden. Dann gilt insbesondere:

$ \exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert <\delta $

Da $ f $ gleichmäßig stetig ist und da $ \forall n\in\mathbb{N}:x_n\in X $ gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

$ \exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert <\epsilon $

Insgesamt gilt also:

$ (\forall\epsilon >0:\exists\delta >0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n,x_m\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x_n),f(x_m)\vert <\epsilon) $

$ \Rightarrow\forall\epsilon >0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert <\epsilon $

$ \Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}} $ ist eine Cauchy-Folge in $ Y $

Lösung 2Bearbeiten

Sei $ \epsilon>0 $. Da $ f $ glm. stetig, gibt es ein $ \delta>0 $, s.d.f.a $ x,y\in X $ aus $ |x,y| < \delta $ auch $ |f(x),f(y)| < \epsilon $ folgt. Da $ (x_n) $ Cauchy-Folge ist, gibt es zu diesem $ \delta $ ein $ N\in\mathbb{N} $, s.d.f.a $ n,m\geq N $ gilt, dass $ |x_n,x_m| < \delta $ und damit auch $ |f(x_n),f(x_m)| < \epsilon $, d.h. $ (f(x_n)) $ ist Cauchy-Folge.