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AufgabenstellungBearbeiten

Es seien X,Y metrische Räume und es sei f:X\rightarrow Y eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei (x_n)_{n\in\mathbb{N}} eine Cauchy-Folge in X.

Man zeige: (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}} ist dann eine Cauchy-Folge in Y.


TippBearbeiten

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


Lösung 1Bearbeiten

Zunächst zu den Definitionen:

f ist gleichmäßig stetig auf X

\Leftrightarrow(\forall\epsilon >0:\exists\delta >0:\forall x,y\in X:\vert x,y\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x),f(y)\vert <\epsilon)


(x_n) ist eine Cauchy-Folge

\Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert <\epsilon_0


Sei nun \epsilon > 0 beliebig vorgegeben und ein entsprechendes \delta >0 gefunden. Dann gilt insbesondere:

\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert <\delta

Da f gleichmäßig stetig ist und da \forall n\in\mathbb{N}:x_n\in X gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert <\epsilon

Insgesamt gilt also:

(\forall\epsilon >0:\exists\delta >0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n,x_m\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x_n),f(x_m)\vert <\epsilon)

\Rightarrow\forall\epsilon >0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert <\epsilon

\Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}} ist eine Cauchy-Folge in Y

Lösung 2Bearbeiten

Sei \epsilon>0. Da f glm. stetig, gibt es ein \delta>0, s.d.f.a x,y\in X aus |x,y| < \delta auch |f(x),f(y)| < \epsilon folgt. Da (x_n) Cauchy-Folge ist, gibt es zu diesem \delta ein N\in\mathbb{N}, s.d.f.a n,m\geq N gilt, dass |x_n,x_m| < \delta und damit auch |f(x_n),f(x_m)| < \epsilon, d.h. (f(x_n)) ist Cauchy-Folge.

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