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Aufgabenstellung[]

Es seien metrische Räume und es sei eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei eine Cauchy-Folge in .

Man zeige: ist dann eine Cauchy-Folge in .

Tipp[]

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


Lösung 1[]

Zunächst zu den Definitionen:

ist gleichmäßig stetig auf


ist eine Cauchy-Folge


Sei nun beliebig vorgegeben und ein entsprechendes gefunden. Dann gilt insbesondere:

Da gleichmäßig stetig ist und da gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

Insgesamt gilt also:

ist eine Cauchy-Folge in

Lösung 2[]

Sei . Da glm. stetig, gibt es ein , s.d.f.a aus auch folgt. Da Cauchy-Folge ist, gibt es zu diesem ein , s.d.f.a gilt, dass und damit auch , d.h. ist Cauchy-Folge.

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