Aufgabenstellung [ ]
Es seien
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
metrische Räume und es sei
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X \rightarrow Y}
eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x_n)_{n \in \N}}
eine Cauchy-Folge in
X
{\displaystyle X}
.
Man zeige:
(
f
(
x
n
)
)
n
∈
N
{\displaystyle (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}}
ist dann eine Cauchy-Folge in
Y
{\displaystyle Y}
.
Tipp [ ]
Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge
Lösung 1 [ ]
Zunächst zu den Definitionen:
f
{\displaystyle f}
ist gleichmäßig stetig auf
X
{\displaystyle X}
⇔
(
∀
ϵ
>
0
:
∃
δ
>
0
:
∀
x
,
y
∈
X
:
|
x
,
y
|
<
δ
⇒
|
f
(
x
)
,
f
(
y
)
|
<
ϵ
)
{\displaystyle \Leftrightarrow(\forall\epsilon >0:\exists\delta >0:\forall x,y\in X:\vert x,y\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x),f(y)\vert <\epsilon)}
(
x
n
)
{\displaystyle (x_n)}
ist eine Cauchy-Folge
⇔
∀
ϵ
0
:
∃
n
0
∈
N
:
∀
n
,
m
≥
n
0
:
|
x
n
,
x
m
|
<
ϵ
0
{\displaystyle \Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert <\epsilon_0}
Sei nun
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon > 0}
beliebig vorgegeben und ein entsprechendes
δ
>
0
{\displaystyle \delta > 0}
gefunden. Dann gilt insbesondere:
∃
n
0
∈
N
:
∀
n
,
m
≥
n
0
:
|
x
n
,
x
m
|
<
δ
{\displaystyle \exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert <\delta }
Da
f
{\displaystyle f}
gleichmäßig stetig ist und da
∀
n
∈
N
:
x
n
∈
X
{\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:x_n\in X}
gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:
∃
n
0
∈
N
:
∀
n
,
m
≥
n
0
:
|
f
(
x
n
)
,
f
(
x
m
)
|
<
ϵ
{\displaystyle \exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert <\epsilon }
Insgesamt gilt also:
(
∀
ϵ
>
0
:
∃
δ
>
0
:
∃
n
0
∈
N
:
∀
n
,
m
≥
n
0
:
|
x
n
,
x
m
|
<
δ
⇒
|
f
(
x
n
)
,
f
(
x
m
)
|
<
ϵ
)
{\displaystyle (\forall\epsilon >0:\exists\delta >0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n,x_m\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x_n),f(x_m)\vert <\epsilon) }
⇒
∀
ϵ
>
0
:
∃
n
0
:
∀
n
,
m
≥
n
0
:
|
f
(
x
n
)
,
f
(
x
m
)
|
<
ϵ
{\displaystyle \Rightarrow\forall\epsilon >0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert <\epsilon }
⇔
(
f
(
x
n
)
)
n
∈
N
{\displaystyle \Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}}
ist eine Cauchy-Folge in
Y
{\displaystyle Y}
Lösung 2 [ ]
Sei
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon > 0}
. Da
f
{\displaystyle f}
glm. stetig, gibt es ein
δ
>
0
{\displaystyle \delta > 0}
, s.d.f.a
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y \in X}
aus
|
x
,
y
|
<
δ
{\displaystyle |x,y| < \delta}
auch
|
f
(
x
)
,
f
(
y
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(x),f(y)| < \epsilon}
folgt. Da
(
x
n
)
{\displaystyle (x_n)}
Cauchy-Folge ist, gibt es zu diesem
δ
{\displaystyle \delta}
ein
N
∈
N
{\displaystyle N \in \N}
, s.d.f.a
n
,
m
≥
N
{\displaystyle n,m\geq N}
gilt, dass
|
x
n
,
x
m
|
<
δ
{\displaystyle |x_n,x_m| < \delta}
und damit auch
|
f
(
x
n
)
,
f
(
x
m
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(x_n),f(x_m)| < \epsilon}
, d.h.
(
f
(
x
n
)
)
{\displaystyle (f(x_n))}
ist Cauchy-Folge.