Gesucht ist das Volumen eines Fasses von 1m Höhe und den Radien 25 cm an den Enden und 35 cm in der Mitte.
Dreht man das Faß um 90° erahnt man, dass die Form einer quadratischen Parabel entspricht.Die Randfunktion muss eine nach unten geöffnete Parabel sein wie hier in der Zeichnung.
Lösung[]
Die Funktionsbeschreibung dieser Parabel kann über die Scheitelpunktform leicht erstellt werden. Allgemein gilt:
(Die Werte in dm)
Die -5 gibt bekanntlich die Verschiebung des Scheitelpunktes in x+ Richtung an und die 3,5 in y+ Richtung. Das Minuszeichen vor dem Streckungsfaktor a ist notwendig, um eine nach unten geöffnete Parabel zu erhalten.
Fehlt nur noch der Faktor a. Setzt man jedoch in die Formel einen bekannten Punkt ein, kann man a errechnen. Der Punkt ist (0/2,5).
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\buildrel“): {\displaystyle f(x) = - a \times (x - 5)^2 + 3,5\buildrel {also} \over \longrightarrow 2,5 = - a \times (0 - 5)^2 + 3,5}
a ist dann
Und die Gleichung heißt komplett
Zur Vereinfachung stellen wir die Scheitelpunktform in die Normalform um
Die Funktion quadrieren[]
ist
Stammfunktion[]
Das bestimmte Integral für die Volumenberechnung[]
Volumeneinheiten.
Da wir von Anfang an in Dezimetern gerechnet haben, ergeben sich natürlich Liter