Trigonometrie

Die Trigonometrie behandelt die Verhältnisse der Seiten und Winkel eines Dreiecks.

1) Zur Einführung: Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen (γ) Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

$c^2=a^2+b^2$

$\Leftrightarrow a = \pm \sqrt{c^2 - b^2}$

$\Leftrightarrow b = \pm \sqrt{c^2 - a^2}$

$\Leftrightarrow c = \pm \sqrt{a^2 + b^2}$

2) Ebene Trigonometrie

Auch die ebene Trigonometrie setzt rechtwinklige Dreiecke voraus.

In diesen gelten folgende Verhältniszahlen:

• sin (Sinus) Winkel α = Gegenkathete des α zur Hypotenuse
• cos (Cosinus) α = Ankathete α zur Hypotenuse
• tan (Tangens) α = Gegenkathete α zur Ankathete
• cot (Kotangens) α = Ankathete α zur Gegenkathete

Dieselbe Konstellation gilt auch für den anderen nicht rechtwinkligen Winkel β, durchwegs mit dem umgekehrten Vorzeichen.

Die ebene Trigonometrie, genauer vorab die Tangens-Funktion, dient vor allem auch zur Landvermessung. Für die Vermessung der Höhe eines Hügels etwa wird von einem gewissen ebenerdigen Punkt aus ebenerdig die Distanz zu seinem höchsten Punkts gemessen resp. extrapoliert; dabei muss der rechte Winkel des Messdreiecks am Fuss des höchsten Punktes liegen. Dann wird vom selben Ort aus mit einem Theodoliten (Winkelmessgerät) der Winkel zum höchsten Punkt eruiert. Mittels vorberechneter Verhältniszahlen für den Tangens (früher standen sie unter anderem in der Logrithmentafel, heute sind sie natürl. digitalisiert) kann damit die Höhe des Hügels in m eruiert werden.

3) Sphärische Trigonometrie

Vorlage:Stub

Die sphärische Trigonometrie ist eine Geometrie auf der Kugel. Die Kugel-Oberfläche ist dabei der geometrische Ort für alle Punkte, die vom Kugelmittelpunkt den gleichen Abstand haben.