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AufgabenstellungBearbeiten

Ein endlicher exakter Komplex ist eine Folge von K-Vektorraumhomomorphismen f_k:V_k\rightarrow V_{k+1}\;(k=-1,\cdots, n) zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, wobei gilt:

(a)\;V_{-1} und V_{n+1} sind jeweils der Nullvektorraum.

(b)\;\operatorname{Bild}f_{k-1}=\ker f_k\;\forall k\in\{0,\cdots,n\}.


Man zeige: \sum_{k=0}^n (-1)^k\dim V_k=0


TippBearbeiten

Man denke an Teleskopsummen.


LösungBearbeiten

(1)

Mit den bekannten Dimensionsformel folgt hier:

\forall k\in\{0,\cdots,n\}:\dim V_k=\operatorname{Bild} f_k + \dim\ker f_k


(2)

Da f_{-1}:\{0\}\rightarrow V_0 eine Abbildung ist, gibt es genau ein v\in V_0 mit der Eigenschaft f_{-1}(0)=v. Da f_{-1} andererseits K-linear ist, folgt schon v=0,d.h.:

\operatorname{Bild}f_{-1}=\{0\}\Rightarrow\dim\operatorname{Bild}f_{-1}=0


(3)

Da f_n in den Nullvektorraum abbildet, folgt:

\operatorname{Bild}f_n=\{0\}\Rightarrow\dim\operatorname{Bild}f_n=0


(4)

\operatorname{Bild}f_{k-1}=\ker f_k\Rightarrow\dim\operatorname{Bild}f_{k-1}=\dim\ker f_k\;\forall k\in\{0,\cdots,n\}


Damit folgt:

\sum_{k=0}^n (-1)^k\dim V_k=_{(1)}\sum_{k=0}^n (-1)^k(\dim\operatorname{Bild}f_k+\dim\ker f_k)

=\sum_{k=0}^n (-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\ker f_k

=_{(4)}\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_{k-1}

=\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=-1}^{n-1}(-1)^{k+1}\dim\operatorname{Bild}f_k

=(-1)^n\dim\operatorname{Bild}f_n+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k+1}\dim\operatorname{Bild}f_k+(-1)^0\dim\operatorname{Bild}f_{-1}

=_{(2),(3)}0+\sum_{k=0}^{n-1}((-1)^k+(-1)^{k+1})\dim\operatorname{Bild}f_k+0

=\sum_{k=0}^{n-1}0=0


Also:

\forall n\in\mathbb{N}:\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim V_k=0

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