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AufgabenstellungBearbeiten

Ein endlicher exakter Komplex ist eine Folge von $ K $-Vektorraumhomomorphismen $ f_k:V_k\rightarrow V_{k+1}\;(k=-1,\cdots, n) $ zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, wobei gilt:

(a)$ \;V_{-1} $ und $ V_{n+1} $ sind jeweils der Nullvektorraum.

(b)$ \;\operatorname{Bild}f_{k-1}=\ker f_k\;\forall k\in\{0,\cdots,n\} $.


Man zeige: $ \sum_{k=0}^n (-1)^k\dim V_k=0 $


TippBearbeiten

Man denke an Teleskopsummen.


LösungBearbeiten

(1)

Mit den bekannten Dimensionsformel folgt hier:

$ \forall k\in\{0,\cdots,n\}:\dim V_k=\operatorname{Bild} f_k + \dim\ker f_k $


(2)

Da $ f_{-1}:\{0\}\rightarrow V_0 $ eine Abbildung ist, gibt es genau ein $ v\in V_0 $ mit der Eigenschaft $ f_{-1}(0)=v $. Da $ f_{-1} $ andererseits $ K $-linear ist, folgt schon $ v=0 $,d.h.:

$ \operatorname{Bild}f_{-1}=\{0\}\Rightarrow\dim\operatorname{Bild}f_{-1}=0 $


(3)

Da $ f_n $ in den Nullvektorraum abbildet, folgt:

$ \operatorname{Bild}f_n=\{0\}\Rightarrow\dim\operatorname{Bild}f_n=0 $


(4)

$ \operatorname{Bild}f_{k-1}=\ker f_k\Rightarrow\dim\operatorname{Bild}f_{k-1}=\dim\ker f_k\;\forall k\in\{0,\cdots,n\} $


Damit folgt:

$ \sum_{k=0}^n (-1)^k\dim V_k=_{(1)}\sum_{k=0}^n (-1)^k(\dim\operatorname{Bild}f_k+\dim\ker f_k) $

$ =\sum_{k=0}^n (-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\ker f_k $

$ =_{(4)}\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_{k-1} $

$ =\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=-1}^{n-1}(-1)^{k+1}\dim\operatorname{Bild}f_k $

$ =(-1)^n\dim\operatorname{Bild}f_n+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k+1}\dim\operatorname{Bild}f_k+(-1)^0\dim\operatorname{Bild}f_{-1} $

$ =_{(2),(3)}0+\sum_{k=0}^{n-1}((-1)^k+(-1)^{k+1})\dim\operatorname{Bild}f_k+0 $

$ =\sum_{k=0}^{n-1}0=0 $


Also:

$ \forall n\in\mathbb{N}:\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim V_k=0 $