Dimensionsformel für einen endlichen exakten Komplex

Aufgabenstellung

Ein endlicher exakter Komplex ist eine Folge von $K$-Vektorraumhomomorphismen $f_{k}:V_{k}\rightarrow V_{k+1}\;(k=-1,\cdots ,n)$ zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, wobei gilt:

(a)$\;V_{-1}$ und $V_{n+1}$ sind jeweils der Nullvektorraum.

(b)$\;\operatorname {Bild} f_{k-1}=\ker f_{k}\;\forall k\in \{0,\cdots ,n\}$.

Man zeige: $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\dim V_{k}=0$

Tipp

Man denke an Teleskopsummen.

Lösung

(1)

Mit den bekannten Dimensionsformel folgt hier:

$\forall k\in \{0,\cdots ,n\}:\dim V_{k}=\operatorname {Bild} f_{k}+\dim \ker f_{k}$

(2)

Da $f_{-1}:\{0\}\rightarrow V_{0}$ eine Abbildung ist, gibt es genau ein $v\in V_{0}$ mit der Eigenschaft $f_{-1}(0)=v$. Da $f_{-1}$ andererseits $K$-linear ist, folgt schon $v=0$,d.h.:

$\operatorname {Bild} f_{-1}=\{0\}\Rightarrow \dim \operatorname {Bild} f_{-1}=0$

(3)

Da $f_n$ in den Nullvektorraum abbildet, folgt:

$\operatorname {Bild} f_{n}=\{0\}\Rightarrow \dim \operatorname {Bild} f_{n}=0$

(4)

$\operatorname {Bild} f_{k-1}=\ker f_{k}\Rightarrow \dim \operatorname {Bild} f_{k-1}=\dim \ker f_{k}\;\forall k\in \{0,\cdots ,n\}$

Damit folgt:

$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\dim V_{k}=_{(1)}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(\dim \operatorname {Bild} f_{k}+\dim \ker f_{k})$

$=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\dim \operatorname {Bild} f_{k}+\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\dim \ker f_{k}$

$=_{(4)}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\dim \operatorname {Bild} f_{k}+\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\dim \operatorname {Bild} f_{k-1}$

$=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\dim \operatorname {Bild} f_{k}+\sum _{k=-1}^{n-1}(-1)^{k+1}\dim \operatorname {Bild} f_{k}$

$=(-1)^{n}\dim \operatorname {Bild} f_{n}+\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\dim \operatorname {Bild} f_{k}+\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k+1}\dim \operatorname {Bild} f_{k}+(-1)^{0}\dim \operatorname {Bild} f_{-1}$

$=_{(2),(3)}0+\sum _{k=0}^{n-1}((-1)^{k}+(-1)^{k+1})\dim \operatorname {Bild} f_{k}+0$

$=\sum _{k=0}^{n-1}0=0$

Also:

$\forall n\in \mathbb {N} :\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\dim V_{k}=0$