FANDOM


Eigenschaften implizit definierter MengenBearbeiten

Man entscheide ob die folgenden Teilmengen des $ \mathbb{R}^n $ offen, abgeschlossen und/oder kompakt sind:

  1. $ \{x_1\cdots x_n=1\} $
  2. $ \{-1< x_1\cdots x_n<1\} $
  3. $ \{2 x_1^4+(x_1\cdots x_n)^2=1\} $
  4. $ \{2 x_1^4+(x_1\cdots x_n)^2\leq1\} $

LösungBearbeiten

  1. $ f(x_1,\dots,x_n)=x_1\cdots x_n $ ist als Polynom stetig, Da $ \{1\} $ abgeschlossen in $ \mathbb{R} $ ist, ist auch $ f^{-1}(\{1\})\neq\mathbb{R}^n $ abgeschlossen, aber nicht offen, und für $ n\geq2 $ unbeschränkt, also auch nicht kompakt.
  2. Die Menge ist offen als stetiges Urbild von $ (-1,1)\, $, aber weder abgeschlossen noch kompakt.
  3. Als stetiges Urbild von $ \{1\} $ abgeschlossen, nicht offen und für $ n\geq2 $ auch nicht kompakt.
  4. Als stetiges Urbild von $ (-\infty,1] $ abgeschlossen, nicht offen und für $ n\geq2 $ auch nicht kompakt.

SuchbegriffeBearbeiten

implizit definierte Menge, offen, abgeschlossen, kompakt

QuelleBearbeiten

Mathematik für Physiker, SS06, TU München