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Eigenschaften implizit definierter MengenBearbeiten

Man entscheide ob die folgenden Teilmengen des \mathbb{R}^n offen, abgeschlossen und/oder kompakt sind:

  1. \{x_1\cdots x_n=1\}
  2. \{-1< x_1\cdots x_n<1\}
  3. \{2 x_1^4+(x_1\cdots x_n)^2=1\}
  4. \{2 x_1^4+(x_1\cdots x_n)^2\leq1\}

LösungBearbeiten

  1. f(x_1,\dots,x_n)=x_1\cdots x_n ist als Polynom stetig, Da \{1\} abgeschlossen in \mathbb{R} ist, ist auch f^{-1}(\{1\})\neq\mathbb{R}^n abgeschlossen, aber nicht offen, und für n\geq2 unbeschränkt, also auch nicht kompakt.
  2. Die Menge ist offen als stetiges Urbild von (-1,1)\,, aber weder abgeschlossen noch kompakt.
  3. Als stetiges Urbild von \{1\} abgeschlossen, nicht offen und für n\geq2 auch nicht kompakt.
  4. Als stetiges Urbild von (-\infty,1] abgeschlossen, nicht offen und für n\geq2 auch nicht kompakt.

SuchbegriffeBearbeiten

implizit definierte Menge, offen, abgeschlossen, kompakt

QuelleBearbeiten

Mathematik für Physiker, SS06, TU München

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