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Aufgabenstellung[]

Es sei eine invertierbare Matrix über einem Körper . Ferner sei ein Eigenwert von .

Man zeige: und ist Eigenwert von .


Tipp[]

  • Man benutze die Definition der Eigenwerte.
  • Man interpretiere die Gleichung für reelle Zahlen als Gleichung für Matrizen.

Lösung 1[]

Es sei das charakteristische Polynom von und die ()-Einheitsmatrix.

Annahme: , dann folgt:

ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist , insbesondere existiert .

Da Eigenwert von ist, hat die Gleichung eine nicht-triviale Lösung , d.h. es gilt:

(da ja invertierbar ist)

die Gleichung hat eine nicht-triviale Lösung (da ja und da )

die Gleichung hat eine nicht-triviale Lösung

ist Eigenwert von .

Lösung 3[]

Sei Eigenvektor zum Eigenwert , dann gilt:

ist Eigenwert von .


folgt dabei aus der zweiten Gleichung, da als Eigenvektor per Definition vom Nullvektor verschieden ist.

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