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AufgabenstellungBearbeiten

Es sei $ A\in K^{n\times n} $ eine invertierbare Matrix über einem Körper $ K $. Ferner sei $ \lambda $ ein Eigenwert von $ A $.

Man zeige: $ \lambda\not=0 $ und $ \lambda^{-1} $ ist Eigenwert von $ A^{-1} $.


TippBearbeiten

  • Man benutze die Definition der Eigenwerte.
  • Man interpretiere die Gleichung $ x^{-1}-y^{-1}=\frac{y-x}{xy} $ für reelle Zahlen $ x,y\in\mathbb{C}\setminus\{0\} $ als Gleichung für Matrizen.

Lösung 1Bearbeiten

Es sei $ \chi_A $ das charakteristische Polynom von $ A $ und $ E_n $ die ($ n\times n $)-Einheitsmatrix.

Annahme: $ \lambda =0 $, dann folgt:

$ \chi_A(\lambda)=0 $

$ \Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0 $

$ \Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0 $

$ \Leftrightarrow\det(A)=0 $

$ \Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K) $

$ \Leftrightarrow A $ ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist $ \lambda\not= 0 $, insbesondere existiert $ \lambda^{-1}\in K $.

Da $ \lambda $ Eigenwert von $ A $ ist, hat die Gleichung $ A(x)=\lambda x;\;x\in K^n $ eine nicht-triviale Lösung $ v\in K^n\setminus\{0\} $, d.h. es gilt:

$ \exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v $

$ \Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v $ (da $ A $ ja invertierbar ist)

$ \Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v) $

$ \Leftrightarrow $ die Gleichung $ A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x $ hat eine nicht-triviale Lösung $ x\in K^n\setminus\{0\} $ (da ja $ \lambda\not=0 $ und da $ v\not=0 $)

$ \Leftrightarrow $ die Gleichung $ (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0 $ hat eine nicht-triviale Lösung

$ \Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\} $

$ \Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in Gl(n,K) $

$ \Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0 $

$ \Leftrightarrow\chi_{A^{-1}}(\lambda^{-1})=0 $

$ \Leftrightarrow\lambda^{-1} $ ist Eigenwert von $ A^{-1} $.

Lösung 2Bearbeiten

Da $ \lambda $ Eigenwert von $ A $ ist, ist $ (A-\lambda) $ nicht invertierbar. Da $ A $ invertierbar ist folgt $ \lambda\neq0 $.

Nun ist $ \lambda A(A^{-1}-\lambda^{-1})=(\lambda-A) $ nicht invertierbar, also muss mindestens einer der Faktoren nichtinvertierbar sein. Da $ \lambda $ und $ A $ invertierbar sind, folgt, dass $ (A^{-1}-\lambda^{-1}) $ nicht invertierbar ist. Somit ist $ \lambda^{-1} $ ein Eigenwert von $ A^{-1} $.


Lösung 3Bearbeiten

Sei $ x $ Eigenvektor zum Eigenwert $ \lambda $, dann gilt:

$ Ax=\lambda x\Leftrightarrow x=\lambda A^{-1}x\Leftrightarrow\lambda^{-1} x=A^{-1}x\Leftrightarrow\lambda^{-1} $ ist Eigenwert von $ A^{-1} $.


$ \lambda\neq0 $ folgt dabei aus der zweiten Gleichung, da $ x $ als Eigenvektor per Definition vom Nullvektor verschieden ist.