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AufgabenstellungBearbeiten

Es sei A\in K^{n\times n} eine invertierbare Matrix über einem Körper K. Ferner sei \lambda ein Eigenwert von A.

Man zeige: \lambda\not=0 und \lambda^{-1} ist Eigenwert von A^{-1}.


TippBearbeiten

  • Man benutze die Definition der Eigenwerte.
  • Man interpretiere die Gleichung x^{-1}-y^{-1}=\frac{y-x}{xy} für reelle Zahlen x,y\in\mathbb{C}\setminus\{0\} als Gleichung für Matrizen.

Lösung 1Bearbeiten

Es sei \chi_A das charakteristische Polynom von A und E_n die (n\times n)-Einheitsmatrix.

Annahme: \lambda =0, dann folgt:

\chi_A(\lambda)=0

\Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0

\Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0

\Leftrightarrow\det(A)=0

\Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K)

\Leftrightarrow A ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist \lambda\not= 0, insbesondere existiert \lambda^{-1}\in K.

Da \lambda Eigenwert von A ist, hat die Gleichung A(x)=\lambda x;\;x\in K^n eine nicht-triviale Lösung v\in K^n\setminus\{0\}, d.h. es gilt:

\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v

\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v (da A ja invertierbar ist)

\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v)

\Leftrightarrow die Gleichung A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x hat eine nicht-triviale Lösung x\in K^n\setminus\{0\} (da ja \lambda\not=0 und da v\not=0)

\Leftrightarrow die Gleichung (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0 hat eine nicht-triviale Lösung

\Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\}

\Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in Gl(n,K)

\Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0

\Leftrightarrow\chi_{A^{-1}}(\lambda^{-1})=0

\Leftrightarrow\lambda^{-1} ist Eigenwert von A^{-1}.

Lösung 2Bearbeiten

Da \lambda Eigenwert von A ist, ist (A-\lambda) nicht invertierbar. Da A invertierbar ist folgt \lambda\neq0.

Nun ist \lambda A(A^{-1}-\lambda^{-1})=(\lambda-A) nicht invertierbar, also muss mindestens einer der Faktoren nichtinvertierbar sein. Da \lambda und A invertierbar sind, folgt, dass (A^{-1}-\lambda^{-1}) nicht invertierbar ist. Somit ist \lambda^{-1} ein Eigenwert von A^{-1}.


Lösung 3Bearbeiten

Sei x Eigenvektor zum Eigenwert \lambda, dann gilt:

Ax=\lambda x\Leftrightarrow x=\lambda A^{-1}x\Leftrightarrow\lambda^{-1} x=A^{-1}x\Leftrightarrow\lambda^{-1} ist Eigenwert von   A^{-1}.


\lambda\neq0 folgt dabei aus der zweiten Gleichung, da x als Eigenvektor per Definition vom Nullvektor verschieden ist.

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