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Eine nichtanalytische C-unendlich-Funktion[]

Zeige, dass die Funktion unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

Tipp[]

Die Ableitungen sind von der Form mit Polynomen .

Lösung[]

Für gilt

mit .

Ist mit einem Polynom , so auch

mit dem Polynom .

Also gilt für alle

mit Polynomen .

Da für alle  :, folgt, dass

für alle ,

und damit auch, induktiv,

für alle ,

da .

Insgesamt existiert also für alle und alle und ist stetig, d.h., .

Die Taylorreihe von im Entwicklungspunkt ergibt allerdings offenbar die Nullfunktion, daher ist nicht analytisch.

Suchbegriffe[]

Taylorreihe, nichtanalytische Funktion, unendlich oft differenzierbare Funktion

Quellen[]

Mathematik für Physiker II, SS06, TU München

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