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Eine nichtanalytische C-unendlich-FunktionBearbeiten

Zeige, dass die Funktion f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}},&x\neq0,\\0,&x=0\end{cases} unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

TippBearbeiten

Die Ableitungen sind von der Form f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}} mit Polynomen p_k(x)\,.

LösungBearbeiten

Für x\neq0 gilt

f'(x)=\frac2{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=p_1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}} mit p_1(x)=2x^3\,.

Ist f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}} mit einem Polynom p_k(x)\,, so auch

f^{(k+1)}(x)=\left(-\frac1{x^2}p'_k\left(\frac1x\right)+\frac2{x^3}p_k\left(\frac1x\right)\right)e^{-\frac1{x^2}} =p_{k+1}\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}} mit dem Polynom p_{k+1}(x)\,.

Also gilt für alle k\in\mathbb{N}_0

f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}} mit Polynomen p_k(x)\,.

Da für alle n\in\mathbb{N}_0 :\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^n}=\lim\limits_{y\to\pm\infty}\frac{y^n}{e^{y^2}}=0, folgt, dass

\lim\limits_{x\to0}f^{(k)}(x)=0 für alle k\in\mathbb{N}_0,

und damit auch, induktiv,

f^{(k)}(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(0)}{x}=0 für alle k\in\mathbb{N}Da,

da f^{(0)}(0)=f(0)=0.

Insgesamt existiert also f^{(k)}(x) für alle k\in\mathbb{N}_0 und alle x\in\mathbb{R} und ist stetig, d.h., f\in C^\infty.

Die Taylorreihe von f\, im Entwicklungspunkt 0\, ergibt allerdings offenbar die Nullfunktion, daher ist f\, nicht analytisch.

SuchbegriffeBearbeiten

Taylorreihe, nichtanalytische Funktion, unendlich oft differenzierbare Funktion

QuellenBearbeiten

Mathematik für Physiker II, SS06, TU München

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