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Eine nichtanalytische C-unendlich-FunktionBearbeiten

Zeige, dass die Funktion $ f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}},&x\neq0,\\0,&x=0\end{cases} $ unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

TippBearbeiten

Die Ableitungen sind von der Form $ f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}} $ mit Polynomen $ p_k(x)\, $.

LösungBearbeiten

Für $ x\neq0 $ gilt

$ f'(x)=\frac2{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=p_1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}} $ mit $ p_1(x)=2x^3\, $.

Ist $ f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}} $ mit einem Polynom $ p_k(x)\, $, so auch

$ f^{(k+1)}(x)=\left(-\frac1{x^2}p'_k\left(\frac1x\right)+\frac2{x^3}p_k\left(\frac1x\right)\right)e^{-\frac1{x^2}} =p_{k+1}\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}} $ mit dem Polynom $ p_{k+1}(x)\, $.

Also gilt für alle $ k\in\mathbb{N}_0 $

$ f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}} $ mit Polynomen $ p_k(x)\, $.

Da für alle $ n\in\mathbb{N}_0 $ :$ \lim\limits_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^n}=\lim\limits_{y\to\pm\infty}\frac{y^n}{e^{y^2}}=0 $, folgt, dass

$ \lim\limits_{x\to0}f^{(k)}(x)=0 $ für alle $ k\in\mathbb{N}_0 $,

und damit auch, induktiv,

$ f^{(k)}(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(0)}{x}=0 $ für alle $ k\in\mathbb{N}Da $,

da $ f^{(0)}(0)=f(0)=0 $.

Insgesamt existiert also $ f^{(k)}(x) $ für alle $ k\in\mathbb{N}_0 $ und alle $ x\in\mathbb{R} $ und ist stetig, d.h., $ f\in C^\infty $.

Die Taylorreihe von $ f\, $ im Entwicklungspunkt $ 0\, $ ergibt allerdings offenbar die Nullfunktion, daher ist $ f\, $ nicht analytisch.

SuchbegriffeBearbeiten

Taylorreihe, nichtanalytische Funktion, unendlich oft differenzierbare Funktion

QuellenBearbeiten

Mathematik für Physiker II, SS06, TU München