Eine nichtanalytische C-unendlich-Funktion[]
Zeige, dass die Funktion
unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.
Tipp[]
Die Ableitungen sind von der Form mit Polynomen .
Lösung[]
Für gilt
- mit .
Ist mit einem Polynom , so auch
- mit dem Polynom .
Also gilt für alle
- mit Polynomen .
Da für alle :,
folgt, dass
- für alle ,
und damit auch, induktiv,
- für alle ,
da .
Insgesamt existiert also für alle und alle und ist stetig,
d.h., .
Die Taylorreihe von im Entwicklungspunkt ergibt allerdings offenbar die Nullfunktion, daher ist nicht analytisch.
Suchbegriffe[]
Taylorreihe, nichtanalytische Funktion, unendlich oft differenzierbare Funktion
Quellen[]
Mathematik für Physiker II, SS06, TU München