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Einheitskugel der SupremumsnormBearbeiten

Ist $ \overline{B_1(0)}=\{f\in C([0,1]): ||f||_\infty\leq1\} $ kompakt in $ (C([0,1]),||\cdot||_\infty) $?

LösungBearbeiten

Nein, denn die Funktionenfolge $ (f_n)\subset \overline{B_1(0)} $, $ f_n(x)=\max\left\{0,1-2\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\left|x-\frac12\left(\frac1n+\frac1{n+1}\right)\right|\right\} $ mit $ \mbox{supp}f_n=\left[\frac1{n+1},\frac1n\right] $ besitzt keine konvergente Teilfolge. Es gilt nämlich $ ||f_n||_\infty=1 $ und $ ||f_n-f_m||_\infty=1 $ für alle $ n,m\in\mathbb{N} $.

SuchbegriffeBearbeiten

abgeschlossene Einheitskugel, Supremumsnorm, nicht kompakt

QuelleBearbeiten

Mathematik für Physiker, SS06, TU München