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Aufgabe (Bestimme die Verteilung der Summe mehrerer gleichverteilter Zufallsvariabler)[]

Bestimme die Verteilung der Summe mehrerer gleichverteilter Zufallsvariabler

Tipps[]

Lösung[]

Die folgende Liste zeigt die Verteilungsdichten von Zufallsvariablen, die entstehen, wenn man bis zu sechs vollständig unabhängige Zufallsvariable summiert, die gleichverteilt im Intervall [0, 1] sind.

Die Bilder zeigen, wie schnell sich die Gesamtverteilung von einer Rechtecks- in eine Glockenkurve ändert, selbst wenn man nur wenige Zufallsvariable summiert. Die Verteilung nähert sich immer mehr einer Normalverteilung. Dies besagt der zentrale Grenzwertsatz.

Tabelle der Verteilungsdichten[]

Verteilungsdichte Bild
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Herleitung[]

Die Verteilungsdichte der Standardgleichverteilung ist

Es sei

die Verteilungsdichte der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen.

Es bezeichnet also die Verteilungsdichte der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen im halboffenen Intervall .

 

Im folgenden bezeichne eine Zufallsvariable, die gemäß verteilt ist.

 

Gemäßder Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ergibt sich folgendes.

Für ist


Das heißt, der j-te Zweig der Verteilungsdichte ergibt sich aus den Integralen von zwei Zweigen von .

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