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Aufgabe (Bestimme die Verteilung der Summe mehrerer gleichverteilter Zufallsvariabler)Bearbeiten

Bestimme die Verteilung der Summe mehrerer gleichverteilter Zufallsvariabler

TippsBearbeiten

LösungBearbeiten

Die folgende Liste zeigt die Verteilungsdichten von Zufallsvariablen, die entstehen, wenn man bis zu sechs vollständig unabhängige Zufallsvariable summiert, die gleichverteilt im Intervall [0, 1] sind.

Die Bilder zeigen, wie schnell sich die Gesamtverteilung von einer Rechtecks- in eine Glockenkurve ändert, selbst wenn man nur wenige Zufallsvariable summiert. Die Verteilung nähert sich immer mehr einer Normalverteilung. Dies besagt der zentrale Grenzwertsatz.

Tabelle der Verteilungsdichten Bearbeiten

Verteilungsdichte Bild
f_1(x)=\begin{cases}
  0            & x < 0\\
  1            & 0 \le x \le 1\\
  0            & x > 1
\end{cases}    [[Bild:[1]]]
f_2(x)=\begin{cases}
  0            & x < 0\\
  x            & 0 \le x \le 1\\
  2-x          & 1 \le x \le 2\\
  0            & x > 2
\end{cases}    [[Bild:[2]]]
f_3(x)=\begin{cases}
  0            & x < 0\\
  \frac {x^2}2  & 0 \le x \le 1\\
  -x^2+3x-\frac {3}2  & 1 \le x \le 2\\
  \frac {(3-x)^2}2    & 2 \le x \le 3\\
  0            & x > 3
\end{cases}    [[Bild:[3]]]
f_4(x)=\begin{cases}
  0                                          & x < 0\\
  \frac {x^3}6                               & 0 \le x \le 1\\
  -\frac {x^3}2+2x^2-2x+\frac {2}3           & 1 \le x \le 2\\
  \frac {x^3}2 - 4 x^2 + 10 x -\frac {22} 3  & 2 \le x \le 3\\
  \frac {(4-x)^3}6                           & 3 \le x \le 4\\
  0                                          & x > 4
\end{cases}    [[Bild:[4]]]
f_5(x)= \begin{cases}
  0                                                   & x < 0\\
  \frac {x^4}{24}                                     & 0 \le x \le 1\\
  \frac {-5 + 20 x - 30 x^2 + 20 x^3 - 4 x^4}{24}     & 1 \le x \le 2\\
  \frac {155 - 300 x + 210 x^2 - 60 x^3 + 6 x^4}{24}  & 2 \le x \le 3\\
  \frac {-655 + 780 x - 330 x^2 + 60 x^3 - 4 x^4}{24} & 3 \le x \le 4\\
  \frac {(5-x)^4}{24}                                 & 4 \le x \le 5\\
  0                                                   & x > 5
\end{cases}    [[Bild:[5]]]
f_6(x)= \begin{cases}
  0                                                                      & x < 0\\
  \frac {x^5}{120}                                                       & 0 \le x \le 1\\
  \frac {6 - 30 x + 60 x^2 - 60 x^3 + 30 x^4 - 5 x^5}{120}               & 1 \le x \le 2\\
  \frac {-237 + 585 x - 570 x^2 + 270 x^3 - 60 x^4 + 5 x^5}{60}          & 2 \le x \le 3\\
  \frac {2193 - 3465 x + 2130 x^2 - 630 x^3 + 90 x^4 - 5 x^5}{60}        & 3 \le x \le 4\\
  \frac {-10974 + 12270 x - 5340 x^2 + 1140 x^3 - 120 x^4 + 5 x^5}{120}  & 4 \le x \le 5\\
  \frac {(6-x)^5}{120}                                                   & 5 \le x \le 6\\
  0                                                                      & x > 6
\end{cases}    [[Bild:[6]]]

Herleitung Bearbeiten

Die Verteilungsdichte der Standardgleichverteilung ist


f_1(x)=\begin{cases}
  0,  & \text{wenn }x \le 0 \\
  1,  & \text{wenn }x \in \, ]0,\,1] \\
  0,  & \text{wenn }x > 1 \text{.} \\
\end{cases}

Es sei


f_k(x)=\begin{cases}
  0,  & \text{wenn }x \le 0 \\
  f_{k,\,1} (x) ,  & \text{wenn }x \in \, ]0,\,1] \\
  \cdots \\
  f_{k,\,j} (x) ,  & \text{wenn }x \in \, ]j-1,\,j] \\
  \cdots \\
  f_{k,\,k} (x) ,  & \text{wenn }x \in \, ]k-1,\,k] \\
  1,  & \text{wenn }x > k  \\
\end{cases}

die Verteilungsdichte der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen.

Es bezeichnet also f_{k,\,j} (x) die Verteilungsdichte der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen im halboffenen Intervall ]j-1,\,j].

 

Im folgenden bezeichne Z_k\, eine Zufallsvariable, die gemäß f_k\, verteilt ist.

 

Gemäßder Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ergibt sich folgendes.

Für x \in \, ]j-1,j] ist


\begin{align}
f_{k+1,\,j} (t) 
& = \int_{-\infty}^\infty f_k (t - x) \cdot f_1 (x) dx \\
& = \int_{0}^1 f_k (t - x) \cdot 1\, dx && \text{Substitution: } y = x - t \\
& = \int_{x-1}^x f_k (y) \, dy \\
& = \int_{x-1}^{j-1} f_{k,\,j-1} (y) \, dy + \int_{j-1}^x f_{k,\,j} (y) \, dy .
\end{align}


Das heißt, der j-te Zweig der Verteilungsdichte f_{k+1}\, ergibt sich aus den Integralen von zwei Zweigen von f_k\,.

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