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Frequenz eines Pendels[]

Ein ungedämpftes Pendel der Länge schwingt in linearer Näherung bei mit einer halben Periodenlänge von . Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um die Bogenlänge () bzw. () maximal ausgelenkt ist?

Tipps[]

Man leite einen Integralausdruck für die halbe Periodenlänge bei der Maximalauslenkung her und entwickle in .

Lösung[]

Die Differentialgleichung ist

mit der Konstanten der Bewegung

Also gilt von bis zum Umkehrpunkt , der einer Energie von entspricht, die Differentialgleichung

,

eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch

Um die Ableitung nach zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,

Wir entwickeln um , wobei eine Funktion von ist,

Also ist

,

d.h. , und

,

wobei

benutzt wurde. Die Integrale sind endlich, da jeweils nur inverse Wurzelsingularitäten am rechten Rand auftreten. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

In der führenden Ordnung gilt also

.

Für ist . Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. nach. Das macht im Jahr ungefähr 9min.

Für ist . Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. nach. Die nächsthöhere Ordnung ist , das macht nochmal Fehlgang und verändert die führende Ordnung nur um ca. .


Suchbegriffe[]

Pendel, Newtonsche Bewgungsgleichung, nichtlinearer Oszillator, Parameterintegral, Singularitäten

Ähnliche Aufgaben[]

Etwas komplizierter, aber im Prinzip analog ist es die Perihel-Praezession des Merkur zu berechnen.

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