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Aufgabe Bearbeiten

Gesucht ist das Volumen eines Fasses von 1m Höhe und den Radien 25 cm an den Enden und 35 cm in der Mitte.

Fass2


Dreht man das Faß um 90° erahnt man, dass die Form einer quadratischen Parabel entspricht.Die Randfunktion muss eine nach unten geöffnete Parabel sein wie hier in der Zeichnung.


Fass1


LösungBearbeiten

Die Funktionsbeschreibung dieser Parabel kann über die Scheitelpunktform leicht erstellt werden. Allgemein gilt:

$ f(x) = - a \times (x - 5)^2 + 3,5 $ (Die Werte in dm)


Die -5 gibt bekanntlich die Verschiebung des Scheitelpunktes in x+ Richtung an und die 3,5 in y+ Richtung. Das Minuszeichen vor dem Streckungsfaktor a ist notwendig, um eine nach unten geöffnete Parabel zu erhalten. Fehlt nur noch der Faktor a. Setzt man jedoch in die Formel einen bekannten Punkt ein, kann man a errechnen. Der Punkt ist (0/2,5).

$ f(x) = - a \times (x - 5)^2 + 3,5\buildrel {also} \over \longrightarrow 2,5 = - a \times (0 - 5)^2 + 3,5 $

a ist dann

$ {{2,5 - 3,5} \over {25}} = - 0,04 $

Und die Gleichung heißt komplett

$ f(x) = - 0,04 \times (x - 5)^2 + 3,5 $

Zur Vereinfachung stellen wir die Scheitelpunktform in die Normalform um

$ f(x) = - 0,04x^2 + 0,4x + 2,5 $


Die Funktion quadrierenBearbeiten

$ f(x) = (- 0,04x^2 + 0,4x + 2,5)^2 $

ist

$ f(x) = 0,0016x^4 - 0,032x^3 - 0,04x^2 + 2x + 6,25 $

StammfunktionBearbeiten

$ F(x) = {{0,0016} \over 5} \times x^5 - {{0,032} \over 4} \times x^4 - {{0,04} \over 3} \times x^3 + x^2 + 6,25x $


Das bestimmte Integral für die VolumenberechnungBearbeiten

$ \Pi \times \int\limits_0^{10} {( - 0,04x^2 + 0,4x + 2,5)^2 dx = \Pi \times \int\limits_0^{10} {(0,0016x^4 - 0,032x^3 - 0,04x^2 + 2x + 6,25)dx} } $


$ = \Pi \times \left[ {{{0,0016} \over 5} \times x^5 - {{0,032} \over 4} \times x^4 - {{0,04} \over 3} \times x^3 + x^2 + 6,25x} \right]_0^{10} $

$ = \Pi \times \left[ {{{0,0016} \over 5} \times 10^5 - {{0,032} \over 4} \times 10^4 - {{0,04} \over 3} \times 10^3 + 100 + 62,5} \right]_0^{10} $

$ = \Pi \times \left[ {32 - 80 - 13{1 \over 3} + 100 + 62,5} \right]_0^{10} $

$ = \Pi \times 101,167 $

Volumeneinheiten.

Da wir von Anfang an in Dezimetern gerechnet haben, ergeben sich natürlich Liter

$ = 317,824 Liter $

SuchbegriffeBearbeiten

Volumenberechnung, Integralrechnung, Faß, Fass, Beispielaufgabe


QuellenBearbeiten

www.volkerbehrens.de

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