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Kegelschnitte und QuadrikenBearbeiten

Der Kegel $ K=\{r\in\mathbb{R}^3\;:\;||\langle e_3,r\rangle e_z||^2=||r-\langle e_3,r\rangle e_3||^2\}=\{r\in\mathbb{R}^3\;:\;r_1^2+r_2^2=r_3^2\} $ wird mit einer Ebene $ E\, $ geschnitten. Man zeige, dass der entstehende Kegelschnitt eine Quadrik (Nullstellengebilde einer quadratischen Funktion) ist.

LösungBearbeiten

Ist die Ebene in Parameterform gegeben, $ E=\{c+x e_x+y e_y\in\mathbb{R}^3\;:\;x,y\in\mathbb{R}\} $, $ c=\begin{pmatrix}0\\0\\c_3\end{pmatrix},e_x,e_y\in\mathbb{R}^3 $, dann bilden $ e_x,e_y\in\mathbb{R}^3 $ eine Basis des zur Ebene parallelen Unterraums. Die Kegelbedingung vereinfacht sich zu

$ 0=||r-\langle e_3,r\rangle e_3||^2-||\langle e_3,r\rangle e_z||^2=||r||^2-2\langle e_3,r\rangle^2 $
$ =||c+x e_x+y e_y||^2-2(c_3+x e_{x,3}+y e_{y,3})^2 $
$ =||c||^2-2c_3^2+x(2\langle c,e_x\rangle-4c_3e_{x,3})+y(2\langle c,e_y\rangle-4c_3e_{y,3}) +x^2(1-e_{x,3}^2)+y^2(1-e_{y,3}^2)+2xy(\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3}) $
$ =\left\langle{x\choose y},A{x\choose y}\right\rangle+\left\langle b,{x\choose y}\right\rangle+C $,

mit $ A=\begin{pmatrix}1-e_{x,3}^2&\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3}\\ \langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3}&1-e_{y,3}^2\end{pmatrix} $, $ b=\begin{pmatrix}2\langle c,e_x\rangle-4c_3e_{x,3}\\2\langle c,e_y\rangle-4c_3e_{y,3}\end{pmatrix} $, $ C=||c||^2-2c_3^2\, $

SuchbegriffeBearbeiten

Kegelschnitt

Ähnliche AufgabenBearbeiten

Parametrisierung von KegelschnittenBearbeiten

Man zeige, dass $ r=\frac{l}{1+\epsilon\cos\phi} $ einen Kegelschnitt in Polarkoordinaten parametrisiert.

LösungBearbeiten

Wir machen den Ansatz

$ \frac{(x-c)^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1 $

mit $ x=\frac{l\cos\phi}{1+\epsilon\cos\phi} $, $ y=\frac{l\sin\phi}{1+\epsilon\cos\phi} $. Die Gleichung

$ 0=b^2(l\cos\phi-c)^2\pm a^2(l\sin\phi)^2-a^2b^2(1+\epsilon\cos\phi)^2 $
$ =b^2l^2\cos^2\phi\pm a^2l^2\sin^2\phi-a^2b^2\epsilon^2\cos^2\phi-2b^2lc\cos\phi -2a^2b^2\epsilon\cos\phi+b^2c^2-a^2b^2 $
$ =\cos^2\phi(l^2(b^2\mp a^2)-a^2b^2\epsilon^2)-2\cos\phi(b^2lc+a^2b^2\epsilon)+b^2c^2\pm a^2l^2-a^2b^2 $

muss für alle $ \phi\, $ gelten, also

$ lc=-a^2\epsilon\, $,