Links ein Kegel
Kegelschnitte und Quadriken [ ]
Der Kegel
K
=
{
r
∈
R
3
:
|
|
⟨
e
3
,
r
⟩
e
z
|
|
2
=
|
|
r
−
⟨
e
3
,
r
⟩
e
3
|
|
2
}
=
{
r
∈
R
3
:
r
1
2
+
r
2
2
=
r
3
2
}
{\displaystyle K=\{r\in\mathbb{R}^3\;:\;||\langle e_3,r\rangle e_z||^2=||r-\langle e_3,r\rangle e_3||^2\}=\{r\in\mathbb{R}^3\;:\;r_1^2+r_2^2=r_3^2\}}
wird mit einer Ebene
E
{\displaystyle E\,}
geschnitten. Man zeige, dass der entstehende Kegelschnitt eine Quadrik (Nullstellengebilde einer quadratischen Funktion) ist.
Lösung [ ]
Ist die Ebene in Parameterform gegeben,
E
=
{
c
+
x
e
x
+
y
e
y
∈
R
3
:
x
,
y
∈
R
}
{\displaystyle E=\{c+x e_x+y e_y\in\mathbb{R}^3\;:\;x,y\in\mathbb{R}\}}
,
c
=
(
0
0
c
3
)
,
e
x
,
e
y
∈
R
3
{\displaystyle c=\begin{pmatrix}0\\0\\c_3\end{pmatrix},e_x,e_y\in\mathbb{R}^3}
, dann bilden
e
x
,
e
y
∈
R
3
{\displaystyle e_x,e_y\in\mathbb{R}^3}
eine Basis des zur Ebene parallelen Unterraums.
Die Kegelbedingung vereinfacht sich zu
0
=
|
|
r
−
⟨
e
3
,
r
⟩
e
3
|
|
2
−
|
|
⟨
e
3
,
r
⟩
e
z
|
|
2
=
|
|
r
|
|
2
−
2
⟨
e
3
,
r
⟩
2
{\displaystyle 0=||r-\langle e_3,r\rangle e_3||^2-||\langle e_3,r\rangle e_z||^2=||r||^2-2\langle e_3,r\rangle^2}
=
|
|
c
+
x
e
x
+
y
e
y
|
|
2
−
2
(
c
3
+
x
e
x
,
3
+
y
e
y
,
3
)
2
{\displaystyle =||c+x e_x+y e_y||^2-2(c_3+x e_{x,3}+y e_{y,3})^2}
=
|
|
c
|
|
2
−
2
c
3
2
+
x
(
2
⟨
c
,
e
x
⟩
−
4
c
3
e
x
,
3
)
+
y
(
2
⟨
c
,
e
y
⟩
−
4
c
3
e
y
,
3
)
+
x
2
(
1
−
e
x
,
3
2
)
+
y
2
(
1
−
e
y
,
3
2
)
+
2
x
y
(
⟨
e
x
,
e
y
⟩
−
2
e
x
,
3
e
y
,
3
)
{\displaystyle =||c||^2-2c_3^2+x(2\langle c,e_x\rangle-4c_3e_{x,3})+y(2\langle c,e_y\rangle-4c_3e_{y,3}) +x^2(1-e_{x,3}^2)+y^2(1-e_{y,3}^2)+2xy(\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3})}
=
⟨
(
x
y
)
,
A
(
x
y
)
⟩
+
⟨
b
,
(
x
y
)
⟩
+
C
{\displaystyle =\left\langle{x\choose y},A{x\choose y}\right\rangle+\left\langle b,{x\choose y}\right\rangle+C}
,
mit
A
=
(
1
−
e
x
,
3
2
⟨
e
x
,
e
y
⟩
−
2
e
x
,
3
e
y
,
3
⟨
e
x
,
e
y
⟩
−
2
e
x
,
3
e
y
,
3
1
−
e
y
,
3
2
)
{\displaystyle A=\begin{pmatrix}1-e_{x,3}^2&\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3}\\
\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3}&1-e_{y,3}^2\end{pmatrix}}
,
b
=
(
2
⟨
c
,
e
x
⟩
−
4
c
3
e
x
,
3
2
⟨
c
,
e
y
⟩
−
4
c
3
e
y
,
3
)
{\displaystyle b=\begin{pmatrix}2\langle c,e_x\rangle-4c_3e_{x,3}\\2\langle c,e_y\rangle-4c_3e_{y,3}\end{pmatrix}}
,
C
=
|
|
c
|
|
2
−
2
c
3
2
{\displaystyle C=||c||^2-2c_3^2\,}
Suchbegriffe [ ]
Kegelschnitt
Ähnliche Aufgaben [ ]
Parametrisierung von Kegelschnitten [ ]
Man zeige, dass
r
=
l
1
+
ϵ
cos
ϕ
{\displaystyle r=\frac{l}{1+\epsilon\cos\phi}}
einen Kegelschnitt in Polarkoordinaten parametrisiert.
Lösung [ ]
Wir machen den Ansatz
(
x
−
c
)
2
a
2
±
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle \frac{(x-c)^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1}
mit
x
=
l
cos
ϕ
1
+
ϵ
cos
ϕ
{\displaystyle x=\frac{l\cos\phi}{1+\epsilon\cos\phi}}
,
y
=
l
sin
ϕ
1
+
ϵ
cos
ϕ
{\displaystyle y=\frac{l\sin\phi}{1+\epsilon\cos\phi}}
.
Die Gleichung
0
=
b
2
(
l
cos
ϕ
−
c
)
2
±
a
2
(
l
sin
ϕ
)
2
−
a
2
b
2
(
1
+
ϵ
cos
ϕ
)
2
{\displaystyle 0=b^2(l\cos\phi-c)^2\pm a^2(l\sin\phi)^2-a^2b^2(1+\epsilon\cos\phi)^2}
=
b
2
l
2
cos
2
ϕ
±
a
2
l
2
sin
2
ϕ
−
a
2
b
2
ϵ
2
cos
2
ϕ
−
2
b
2
l
c
cos
ϕ
−
2
a
2
b
2
ϵ
cos
ϕ
+
b
2
c
2
−
a
2
b
2
{\displaystyle =b^2l^2\cos^2\phi\pm a^2l^2\sin^2\phi-a^2b^2\epsilon^2\cos^2\phi-2b^2lc\cos\phi -2a^2b^2\epsilon\cos\phi+b^2c^2-a^2b^2}
=
cos
2
ϕ
(
l
2
(
b
2
∓
a
2
)
−
a
2
b
2
ϵ
2
)
−
2
cos
ϕ
(
b
2
l
c
+
a
2
b
2
ϵ
)
+
b
2
c
2
±
a
2
l
2
−
a
2
b
2
{\displaystyle =\cos^2\phi(l^2(b^2\mp a^2)-a^2b^2\epsilon^2)-2\cos\phi(b^2lc+a^2b^2\epsilon)+b^2c^2\pm a^2l^2-a^2b^2}
muss für alle
ϕ
{\displaystyle \phi \,}
gelten, also
l
c
=
−
a
2
ϵ
{\displaystyle lc=-a^2\epsilon\,}
,