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Kompakte Mengen im Metrischen RaumBearbeiten

Seien $ (X,d)\, $ ein metrischer Raum und $ A\subset X $. Man zeige:

$ A\, $ ist genau dann eine kompakte Teilmenge von $ X\, $, wenn der Metrische Raum $ (A,d_a) $ kompakt ist.

LösungBearbeiten

"$ \Longrightarrow $": Sei $ (V_j)_{j\in J} $ eine Überdeckung von $ A\, $ mit $ V_j\subset A $ offen bzgl. $ (A,d_a) $. Dann gibt es offene $ U_j\subset X $ mit $ V_j\subset U_j $. Sie bilden eine offene Überdeckung von $ A\, $. Da $ A\, $ kompakt ist gibt es eine endliche Teilüberdeckung $ U_{j_k} $. Da die $ V_{j_k}=U_{j_k}\cap A $ offen in $ (A,d_a) $ sind, bilden sie eine offene endliche Teilüberdeckung des metrischen Raums $ (A,d_a) $.

"$ \Longleftarrow $": genauso.

SuchbegriffeBearbeiten

Kompakt, metrischer Raum

QuelleBearbeiten

Mathematik für Physiker, SS06, TU München