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Kompakte Mengen im Metrischen RaumBearbeiten

Seien (X,d)\, ein metrischer Raum und A\subset X. Man zeige:

A\, ist genau dann eine kompakte Teilmenge von X\,, wenn der Metrische Raum (A,d_a) kompakt ist.

LösungBearbeiten

"\Longrightarrow": Sei (V_j)_{j\in J} eine Überdeckung von A\, mit V_j\subset A offen bzgl. (A,d_a). Dann gibt es offene U_j\subset X mit V_j\subset U_j. Sie bilden eine offene Überdeckung von A\,. Da A\, kompakt ist gibt es eine endliche Teilüberdeckung U_{j_k}. Da die V_{j_k}=U_{j_k}\cap A offen in (A,d_a) sind, bilden sie eine offene endliche Teilüberdeckung des metrischen Raums (A,d_a).

"\Longleftarrow": genauso.

SuchbegriffeBearbeiten

Kompakt, metrischer Raum

QuelleBearbeiten

Mathematik für Physiker, SS06, TU München

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