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Aufgabe (seperabler Folgenraum)Bearbeiten

Ein metrischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbar dichte Teilmenge besitzt. Zeigen Sie, dass der Folgenraum $ l^{\infty} $ nicht separabel ist.

TippsBearbeiten

keine Tipps

LösungBearbeiten

Zu zeigen: $ l^{\infty} $ ist nicht separabel, besitzt also keine abzählbar dichte Teilmenge.

Angenommen, dies wäre nicht der Fall und $ B := \{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},...\} \subset l^{\infty} $ wäre eine solche abzählbare Folge von $ l^{\infty} $ -Folgen, die dicht in $ l^{\infty} $ liegt. Dabei sei jedes dieser $ x^{(n)} \in B \subset l^{\infty} $ von der Form.

$ x^{(n)} = (x^{(n)}_m)_{m \in \mathbb{N}} $

Definiere nun die Folge $ x = (x_m)_{m \in \mathbb{N}} $ durch

$ x_m=\begin{cases} x^{(m)}_m+1, & \mbox{falls }\|x^{(m)}_m\| \leq 1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} \forall m \in \mathbb{N} $

Dann ist wegen $ \|x_m\| \leq 2 $ direkt $ x \in l^{\infty} $ ferner ist

$ \left\|x-x^{(n)}\right\|_{\infty} \geq |(x-x^{(n)})_n| \geq 1 \ \ \forall n \in \mathbb{N} $

im Widerspruch zur Dichtheit von $ B $ in $ l^{\infty} $ .

SuchbegriffeBearbeiten

separabel, abzählbar dicht, l-unendlich Raum, Folgenraum

QuellenBearbeiten

keine bekannten Quellen

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