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Aufgabe (seperabler Folgenraum)Bearbeiten

Ein metrischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbar dichte Teilmenge besitzt. Zeigen Sie, dass der Folgenraum l^{\infty} nicht separabel ist.

TippsBearbeiten

keine Tipps

LösungBearbeiten

Zu zeigen: l^{\infty} ist nicht separabel, besitzt also keine abzählbar dichte Teilmenge.

Angenommen, dies wäre nicht der Fall und B := \{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},...\} \subset l^{\infty} wäre eine solche abzählbare Folge von l^{\infty} -Folgen, die dicht in l^{\infty} liegt. Dabei sei jedes dieser x^{(n)} \in B \subset l^{\infty} von der Form.

x^{(n)} = (x^{(n)}_m)_{m \in \mathbb{N}}

Definiere nun die Folge x = (x_m)_{m \in \mathbb{N}} durch

x_m=\begin{cases} x^{(m)}_m+1, & \mbox{falls }\|x^{(m)}_m\| \leq 1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} \forall m \in \mathbb{N}

Dann ist wegen \|x_m\| \leq 2 direkt x \in l^{\infty} ferner ist

\left\|x-x^{(n)}\right\|_{\infty} \geq |(x-x^{(n)})_n| \geq 1 \ \ \forall n \in \mathbb{N}

im Widerspruch zur Dichtheit von B in l^{\infty} .

SuchbegriffeBearbeiten

separabel, abzählbar dicht, l-unendlich Raum, Folgenraum

QuellenBearbeiten

keine bekannten Quellen

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