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AufgabenstellungBearbeiten

Man zeige: \sum_{n=2}^\infty \log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)


TippBearbeiten

Man zeige zunächst mittels vollständiger Induktion, dass für alle N\in\mathbb{N} mit N\ge 2 gilt: \prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)

Lösung 1Bearbeiten

Wir zeigen zunächst die Gleichung, die in dem Tipp angegeben ist.

Induktionsanfang:N=2

Dann gilt:

\prod_{n=2}^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)

Damit folgt die Behauptung im Falle N=2


Induktionssvoraussetzung:

Für beliebiges N\ge 2 sei die Behauptung wahr.


Induktionsbehauptung:

Dann gilt die Gleichung auch für N+1


Induktionsschritt:

\prod_{n=2}^{N+1}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)=_{Ind.Vor.}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)

=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N(N+1)^2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{N(N+1)^2-N+(N+1)^2-1}{N(N+1)^2}\right)

=\frac{1}{2}\frac{(N+1)^2(N+1)-(N+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)((N+1)^2-1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)(N+1-1)(N+1+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{N+1+1}{N+1}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N+1}\right)

Die Behauptung folgt.


Mit der Funktionalgleichung des Logarithmus und vollständiger Induktion zeigt man ferner sehr leicht, dass

\forall 2\le N\in\mathbb{N}:\sum_{n=2}^N\log(n)=\log\left(\prod_{n=2}^N n\right)

gilt.

Nun ist der eigentliche Beweis kein Problem mehr:

\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)

Mit der Stetigkeit der Logarithmus-Funktion (und dem Folgenkriterium für Stetigkeit) folgt sodann:

\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)

Lösung 2Bearbeiten

Die Formel \prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N}\right) gilt für N=1 (das leere Produkt ist 1). Gilt sie für N-1, N\geq2, so auch für N, denn

\prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N-1}\right)\left(1-\frac1{N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac1{N-1}-\frac1{N^2}-\frac1{(N-1)N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac{N^2-(N-1)-1}{N^2(N-1)}\right)=\frac12\left(1+\frac1N\right),

somit gilt sie für alle N\geq1. Wegen der Stetigkeit des Logarithmus folgt

\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right).

SuchbegriffeBearbeiten

vollständige Induktion, unendliches Produkt

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