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AufgabenstellungBearbeiten

Man zeige: $ \sum_{n=2}^\infty \log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right) $


TippBearbeiten

Man zeige zunächst mittels vollständiger Induktion, dass für alle $ N\in\mathbb{N} $ mit $ N\ge 2 $ gilt: $ \prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right) $

Lösung 1Bearbeiten

Wir zeigen zunächst die Gleichung, die in dem Tipp angegeben ist.

Induktionsanfang:$ N=2 $

Dann gilt:

$ \prod_{n=2}^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right) $

Damit folgt die Behauptung im Falle $ N=2 $


Induktionssvoraussetzung:

Für beliebiges $ N\ge 2 $ sei die Behauptung wahr.


Induktionsbehauptung:

Dann gilt die Gleichung auch für $ N+1 $


Induktionsschritt:

$ \prod_{n=2}^{N+1}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)=_{Ind.Vor.}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right) $

$ =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N(N+1)^2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{N(N+1)^2-N+(N+1)^2-1}{N(N+1)^2}\right) $

$ =\frac{1}{2}\frac{(N+1)^2(N+1)-(N+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)((N+1)^2-1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)(N+1-1)(N+1+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{N+1+1}{N+1}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N+1}\right) $

Die Behauptung folgt.


Mit der Funktionalgleichung des Logarithmus und vollständiger Induktion zeigt man ferner sehr leicht, dass

$ \forall 2\le N\in\mathbb{N}:\sum_{n=2}^N\log(n)=\log\left(\prod_{n=2}^N n\right) $

gilt.

Nun ist der eigentliche Beweis kein Problem mehr:

$ \sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right) $

Mit der Stetigkeit der Logarithmus-Funktion (und dem Folgenkriterium für Stetigkeit) folgt sodann:

$ \sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right) $

Lösung 2Bearbeiten

Die Formel $ \prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N}\right) $ gilt für $ N=1 $ (das leere Produkt ist $ 1 $). Gilt sie für $ N-1 $, $ N\geq2 $, so auch für $ N $, denn

$ \prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N-1}\right)\left(1-\frac1{N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac1{N-1}-\frac1{N^2}-\frac1{(N-1)N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac{N^2-(N-1)-1}{N^2(N-1)}\right)=\frac12\left(1+\frac1N\right), $

somit gilt sie für alle $ N\geq1 $. Wegen der Stetigkeit des Logarithmus folgt

$ \sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right) $.

SuchbegriffeBearbeiten

vollständige Induktion, unendliches Produkt