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Parameterintegral mit SingularitätenBearbeiten

Sei

$ F(\epsilon)=\int\limits_{r_0(\epsilon)}^{r_1(\epsilon)}\frac{dr} {\sqrt{r(r-r_2(\epsilon))(r-r_0(\epsilon))(r_1(\epsilon)-r)}} $,

wobei $ 0\leq r_2(\epsilon)<r_0(\epsilon)<r_1(\epsilon) $, $ r_0\, $, $ r_1\, $ und $ r_2\, $ differenzierbar sind bei $ 0\, $ und $ r_2(0)=0 $.

Berechne $ F(0)\, $, $ F'(0)\, $.


TippsBearbeiten

  • Bearbeite die Aufgabe Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten
  • $ \int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}=\frac2{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}} $, $ r_0<r<r_1\, $
  • $ \int\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}=\frac{\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}{r_0r_1r}+\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}} $, $ r_0<r<r_1\, $


LösungBearbeiten

Die $ \epsilon\, $-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt. Zunächst berechnen wir

$ F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}. $


Aus der Aufgabe Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten ($ c=-1\, $, $ n=4\, $, $ r_3=0\, $) lesen wir ab

$ F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} $
$ =\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} $
$ =\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}} $
$ =\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}} $
$ =\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_0^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}} $

SuchbegriffeBearbeiten

Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

ähnliche AufgabenBearbeiten

Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.