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Perihel-Präzession des MerkurBearbeiten

Der Perihel des Merkur ist $ r_p=46\,000\,000[\mathrm{km}]\, $. bei einer Geschwindigkeit von $ v_p=59[\mathrm{km/s}]\, $. Die Stärke der Sonnengravitation ist $ g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{20}[\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}] $. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert. Seine Umlaufzeit beträgt 88 Tage, bzw 0.24 Jahre.

TippsBearbeiten

  • Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius $ r\, $ und Winkel $ \phi\, $ die Differentialgleichungen
$ \ddot r=-V'(r) $, $ V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3} $, und $ \dot\phi r^2=L $.


LösungBearbeiten

Die Lösung der Bewegungsgleichung als uneigentliches Riemann-IntegralBearbeiten

$ E=\frac12\dot r^2+V(r) $ ist eine Konstante der Bewegung, wobei $ E=V(r_p)\, $ und $ L=r_pv_p\, $. Somit ist

$ r'(\phi)=\dot\phi^{-1}\dot r=\frac{r^2}L\sqrt{2(E-V(r))} $.

Man erhält

$ \phi(R)=\int\limits_{r_p}^R\frac{Ldr}{r^2\sqrt{2(E-V(r))}} $.

Am Aphel $ r_a\, $, gegeben durch die größte Nullstelle von $ E-V(r)\, $, beschreibt $ 2\alpha=\phi(r_a)-2\pi $ die Perihel-Präzession pro Umdrehung. Wir setzen $ \epsilon=\frac1{c^2} $ und betrachten zunächst den Fall $ \epsilon=0\, $. Es ist

$ r^2(E-V(r))=Er^2+gr-\frac{L^2}2=E(r-r_p)(r-r_a) =Er^2-E(r_p+r_a)r+Er_pr_a $,

also $ r_a=-\frac{g}E-r_p\, $ und $ \frac{L^2}{2E}=r_pr_a\, $. Somit ist

$ \phi(r_a)=\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{\sqrt{r_pr_a}dr}{r\sqrt{(r-r_p)(r_a-r)}}=\pi $

nach dem Ergebnis der Aufgabe Parameterintegral mit Singularitaeten. Das bedeutet das die Perihel-Präzession bei Newtonscher Gravitation $ 0\, $ ist, eine Konsequenz der Keplerschen Gesetze.

Wir faktorisieren nun für beliebiges $ \epsilon\, $,

$ r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac12L^2r^2+\frac{gL^2}{2c^2}r=Er(r-r_s)(r-r_p)(r-r_a) $,

was nach Polynomdivision auf

$ r_{a,s}=\frac{g+3Er_p\pm\sqrt{(g-3Er_p)(g+Er_p)+2EL^2}}{-2E} $

führt. Dieses explizite Ergebnis wird im weiteren nicht mehr benutzt, aber offenbar ist $ r_s=0\, $, falls $ \epsilon=0\, $. Wir erhalten

$ \phi_{\epsilon}(r_a)=\frac{L}{\sqrt{-2E}}\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{dr}{\sqrt{r(r-r_s)(r-r_p)(r_a-r)}}=\frac{L}{\sqrt{-2E}}F(\epsilon) $.
$ \left.\frac{d}{d\epsilon}\phi_\epsilon(r_a)\right|_{\epsilon=0} =-\frac{-2LE'}{2\sqrt{-2E}^3}F(0)+\frac{L}{\sqrt{-2E}}F'(0) =-\frac{E'}{2E}\sqrt{r_pr_a}F(0)+\sqrt{r_pr_a}F'(0) $.

$ F\, $ wurde in der Aufgabe Parameterintegral mit Singularitaeten untersucht, mit dem Ergebnis (siehe oben)

$ F(0)=\frac{\pi}{\sqrt{r_pr_a}} $ und
$ F'(0)=\pi\frac{r_a^2(2r_p'-r_s')-r_p^2(2r_a'-r_s')} {2(r_a-r_p)(r_pr_a)^{3/2}} $. Wegen $ r_p'=0\, $ ist
$ \left.\frac{d}{d\epsilon}\phi_\epsilon(r_a)\right|_{\epsilon=0} =\pi\left(-\frac{E'}{2E}+\frac{r_a^2(-r_s')+r_p^2(2r_a'-r_s')} {2(r_a-r_p)r_pr_a}\right) =\pi\left(-\frac{E'}{2E} -\frac{(r_a^2-r_p^2)r_s'+2r_p^2r_a'} {2(r_a-r_p)r_pr_a}\right) $
$ =\pi\left(-\frac{E'}{2E}-\frac{r_a+r_p}{2r_pr_a}r_s' -\frac{r_p}{(r_a-r_p)r_a}r_a'\right) $

auszuwerten.

Auswertung der AbleitungBearbeiten

Der Ableitungsstrich steht ab jetzt für die Ableitung nach $ \epsilon\, $. Ausgewertet wird bei $ \epsilon=0\, $. Dann ist

$ E'=\frac{d}{d\epsilon}V(r_p)=-\frac{gL^2}{r_p^3} $.

Für $ r_a'\, $ und $ r_s'\, $ wenden wir den Satz über implizite Funktionen auf $ f(\epsilon,r)=r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac{L^2}2r^2+\epsilon gL^2r\, $ an. Es ist

$ \partial_\epsilon f=r^4E'+gL^2r=gL^2r\left(1-\frac{r^3}{r_p^3}\right) $
$ \partial_rf=4Er^3+3gr^2-L^2r =4r^3\left(-\frac{g}{r_p}+\frac{L^2}{2r_p^2}\right)+3gr^2-L^2r $

und somit

$ -\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon} =\frac{gL^2(r^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r^2-r_p^2)-grr_p^2(4r-3r_p)} $.

Also

$ r_p'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_p} =0 $ (nur zur Kontrolle!)
$ r_a'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_a} =\frac{gL^2(r_a^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r_a^2-r_p^2)-gr_ar_p^2(4r_a-3r_p)} $
$ r_s'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_s=0} =\frac{gL^2(-r_p^3)}{L^2r_p(-r_p^2)}=g $

Die $ \epsilon\, $-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt. Zunächst berechnen wir

$ F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}. $


Aus der Aufgabe Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten ($ c=-1\, $, $ n=4\, $, $ r_3=0\, $) lesen wir ab

$ F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} $
$ =\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} $
$ =\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}} $
$ =\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}} $
$ =\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}} $

SuchbegriffeBearbeiten

Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

ähnliche AufgabenBearbeiten

Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.