FANDOM


Perihel-Präzession des MerkurBearbeiten

Der Perihel des Merkur ist r_p=46\,000\,000[\mathrm{km}]\,. bei einer Geschwindigkeit von v_p=59[\mathrm{km/s}]\,. Die Stärke der Sonnengravitation ist g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{20}[\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}]. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert. Seine Umlaufzeit beträgt 88 Tage, bzw 0.24 Jahre.

TippsBearbeiten

  • Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius r\, und Winkel \phi\, die Differentialgleichungen
\ddot r=-V'(r), V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3}, und \dot\phi r^2=L.


LösungBearbeiten

Die Lösung der Bewegungsgleichung als uneigentliches Riemann-IntegralBearbeiten

E=\frac12\dot r^2+V(r) ist eine Konstante der Bewegung, wobei E=V(r_p)\, und L=r_pv_p\,. Somit ist

r'(\phi)=\dot\phi^{-1}\dot r=\frac{r^2}L\sqrt{2(E-V(r))}.

Man erhält

\phi(R)=\int\limits_{r_p}^R\frac{Ldr}{r^2\sqrt{2(E-V(r))}}.

Am Aphel r_a\,, gegeben durch die größte Nullstelle von E-V(r)\,, beschreibt 2\alpha=\phi(r_a)-2\pi die Perihel-Präzession pro Umdrehung. Wir setzen \epsilon=\frac1{c^2} und betrachten zunächst den Fall \epsilon=0\,. Es ist

r^2(E-V(r))=Er^2+gr-\frac{L^2}2=E(r-r_p)(r-r_a) =Er^2-E(r_p+r_a)r+Er_pr_a,

also r_a=-\frac{g}E-r_p\, und \frac{L^2}{2E}=r_pr_a\,. Somit ist

\phi(r_a)=\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{\sqrt{r_pr_a}dr}{r\sqrt{(r-r_p)(r_a-r)}}=\pi

nach dem Ergebnis der Aufgabe Parameterintegral mit Singularitaeten. Das bedeutet das die Perihel-Präzession bei Newtonscher Gravitation 0\, ist, eine Konsequenz der Keplerschen Gesetze.

Wir faktorisieren nun für beliebiges \epsilon\,,

r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac12L^2r^2+\frac{gL^2}{2c^2}r=Er(r-r_s)(r-r_p)(r-r_a),

was nach Polynomdivision auf

r_{a,s}=\frac{g+3Er_p\pm\sqrt{(g-3Er_p)(g+Er_p)+2EL^2}}{-2E}

führt. Dieses explizite Ergebnis wird im weiteren nicht mehr benutzt, aber offenbar ist r_s=0\,, falls \epsilon=0\,. Wir erhalten

\phi_{\epsilon}(r_a)=\frac{L}{\sqrt{-2E}}\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{dr}{\sqrt{r(r-r_s)(r-r_p)(r_a-r)}}=\frac{L}{\sqrt{-2E}}F(\epsilon).
\left.\frac{d}{d\epsilon}\phi_\epsilon(r_a)\right|_{\epsilon=0} =-\frac{-2LE'}{2\sqrt{-2E}^3}F(0)+\frac{L}{\sqrt{-2E}}F'(0) =-\frac{E'}{2E}\sqrt{r_pr_a}F(0)+\sqrt{r_pr_a}F'(0).

F\, wurde in der Aufgabe Parameterintegral mit Singularitaeten untersucht, mit dem Ergebnis (siehe oben)

F(0)=\frac{\pi}{\sqrt{r_pr_a}} und
F'(0)=\pi\frac{r_a^2(2r_p'-r_s')-r_p^2(2r_a'-r_s')} {2(r_a-r_p)(r_pr_a)^{3/2}}. Wegen r_p'=0\, ist
\left.\frac{d}{d\epsilon}\phi_\epsilon(r_a)\right|_{\epsilon=0} 
=\pi\left(-\frac{E'}{2E}+\frac{r_a^2(-r_s')+r_p^2(2r_a'-r_s')} {2(r_a-r_p)r_pr_a}\right) =\pi\left(-\frac{E'}{2E} -\frac{(r_a^2-r_p^2)r_s'+2r_p^2r_a'} {2(r_a-r_p)r_pr_a}\right)
=\pi\left(-\frac{E'}{2E}-\frac{r_a+r_p}{2r_pr_a}r_s' -\frac{r_p}{(r_a-r_p)r_a}r_a'\right)

auszuwerten.

Auswertung der AbleitungBearbeiten

Der Ableitungsstrich steht ab jetzt für die Ableitung nach \epsilon\,. Ausgewertet wird bei \epsilon=0\,. Dann ist

E'=\frac{d}{d\epsilon}V(r_p)=-\frac{gL^2}{r_p^3}.

Für r_a'\, und r_s'\, wenden wir den Satz über implizite Funktionen auf f(\epsilon,r)=r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac{L^2}2r^2+\epsilon gL^2r\, an. Es ist

\partial_\epsilon f=r^4E'+gL^2r=gL^2r\left(1-\frac{r^3}{r_p^3}\right)
\partial_rf=4Er^3+3gr^2-L^2r =4r^3\left(-\frac{g}{r_p}+\frac{L^2}{2r_p^2}\right)+3gr^2-L^2r

und somit

-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon} =\frac{gL^2(r^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r^2-r_p^2)-grr_p^2(4r-3r_p)}.

Also

r_p'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_p} =0 (nur zur Kontrolle!)
r_a'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_a} =\frac{gL^2(r_a^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r_a^2-r_p^2)-gr_ar_p^2(4r_a-3r_p)}
r_s'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_s=0} =\frac{gL^2(-r_p^3)}{L^2r_p(-r_p^2)}=g

Die \epsilon\,-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt. Zunächst berechnen wir

F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.


Aus der Aufgabe Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten (c=-1\,, n=4\,, r_3=0\,) lesen wir ab

F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}
=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}

SuchbegriffeBearbeiten

Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

ähnliche AufgabenBearbeiten

Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

Störung durch Adblocker erkannt!


Wikia ist eine gebührenfreie Seite, die sich durch Werbung finanziert. Benutzer, die Adblocker einsetzen, haben eine modifizierte Ansicht der Seite.

Wikia ist nicht verfügbar, wenn du weitere Modifikationen in dem Adblocker-Programm gemacht hast. Wenn du sie entfernst, dann wird die Seite ohne Probleme geladen.

Auch bei FANDOM

Zufälliges Wiki