Aufgabe[]
Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².
A: Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.
B: Wie tief ist der Brunnen.
C: Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.
Tipps[]
Lösung[]
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A: Vorgangsbeschreibung[]
Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt
#fz
B: Berechnung der Brunnentiefe[]
Formel für den freien Fall
- h = ½ × g × t²fall <1>
Formel für den Schall
- h = Vschall × tschall <2>
Weiter gilt:
- tschall = 5s – tfall <3>
Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln <1> und <2> Gleichsetzen.
- ½ × g × t²fall = Vschall × tschall
Und für tschall <3> einsetzen.
- ½ × g × t²fall = Vschall × (5s – tfall)
- => 0 = 1/2 g t² + 330 t -1650
Das ist eine quadratische Gleichung mit
- a = g/2
- b = 330
- c = -1650
Eingesetzt in die Lösungsformel für quadratische Gleichungen
- pq Formel
ergibt zwei Lösungen:
- x1= 4,675s
- x2= -71,953s
Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für t fall = 4.675s sein.
Eingesetzt in <1>
- h = ½ × g × t²fall
- h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²
- h = 107,20 m
Die Brunnentiefe ist also 107,20 m
C: Weg-Zeit-Diagramm[]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)
Suchbegriffe[]
Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung