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Aufgabe (Reihenwertbestimmung)Bearbeiten

Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihe:

$ \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) $

TippsBearbeiten

Umformung in  a* Geometrische Reihe

LösungBearbeiten

$ \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) = $ $ \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n}+\frac{1}{3^{n+1}}+\frac{(-1)^n}{n^3}+\frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) = \sum_{n=1}^\infty[\frac{1}{3^n}(1+\frac{1}{3})+\frac{(-1)^n}{n^3}(1+(-1))] = $ $ \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{3}(\frac{1}{3})^n = $ $ \frac{4}{3} \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^{n+1} = $ $ \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^n = $ $ \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = $ $ \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3} $

SuchbegriffeBearbeiten

Reihe, Reihenwert, Summe

QuellenBearbeiten

Die Aufgabe stammt aus den Übungsblättern zur Vorlesung Analysis 2 (Uni Duisburg-Essen, SS 2006) !

ähnliche AufgabenBearbeiten

noch keine