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Aufgabe (\sigma-Algebra Grundeigenschaften)Bearbeiten

Es sei \Omega \neq \emptyset, und es sei \mathfrak{A} ein endliches Teilsystem der Potenzmenge von \Omega mit den Eigenschaften:

  • (1) \Omega \in \mathfrak{A}
  • (2) A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A\setminus{B} \in \mathfrak{A}.

Man prüfe, ob \mathfrak{A} unter diesen Voraussetzungen stets eine \sigma-Algebra ist.

TippsBearbeiten

Wende die Definition der \sigma-Algebra an.

LösungBearbeiten

Weise die drei definierenden Eigenschaften einer \sigma-Algebra nach:

1) \Omega \in \mathfrak{A} nach (1)

2) A \in \mathfrak{A} \Rightarrow \Omega\setminus{A} \in \mathfrak{A} nach (1),(2)

3) A_1,A_2,.. \in \mathfrak{A}. Da \mathfrak{A} endlich ist, gibt es unter den Mengen A_i nur endlich viele verschiedene.

O.B.d.A. seien dies A_1,..,A_n \in \mathfrak{A}, zu zeigen bleibt: \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathfrak{A}

Hierzu genügt es, zu zeigen: A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A}

Betrachte (*): \Omega\setminus(A \cup B) = \underbrace{(\Omega \setminus A)}_{\in \mathfrak{A}} \cap \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}}

Für A,B \in \mathfrak{A} gilt: A \cap B = A \setminus \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}} \in \mathfrak{A}

Damit folgt auch (\Omega \setminus A) \cap (\Omega \setminus B) \in \mathfrak{A}
\Rightarrow \Omega \setminus (A \cup B) \in \mathfrak{A}
\Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A}

SuchbegriffeBearbeiten

sigma-Algebra, Potenzmenge

QuellenBearbeiten

Keine Quellen

ähnliche AufgabenBearbeiten

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