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Aufgabe ($ \sigma $-Algebra Grundeigenschaften)Bearbeiten

Es sei $ \Omega \neq \emptyset $, und es sei $ \mathfrak{A} $ ein endliches Teilsystem der Potenzmenge von $ \Omega $ mit den Eigenschaften:

  • (1) $ \Omega \in \mathfrak{A} $
  • (2) $ A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A\setminus{B} \in \mathfrak{A} $.

Man prüfe, ob $ \mathfrak{A} $ unter diesen Voraussetzungen stets eine $ \sigma $-Algebra ist.

TippsBearbeiten

Wende die Definition der $ \sigma $-Algebra an.

LösungBearbeiten

Weise die drei definierenden Eigenschaften einer $ \sigma $-Algebra nach:

1) $ \Omega \in \mathfrak{A} $ nach (1)

2) $ A \in \mathfrak{A} \Rightarrow \Omega\setminus{A} \in \mathfrak{A} $ nach (1),(2)

3) $ A_1,A_2,.. \in \mathfrak{A} $. Da $ \mathfrak{A} $ endlich ist, gibt es unter den Mengen $ A_i $ nur endlich viele verschiedene.

O.B.d.A. seien dies $ A_1,..,A_n \in \mathfrak{A} $, zu zeigen bleibt: $ \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathfrak{A} $

Hierzu genügt es, zu zeigen: $ A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A} $

Betrachte (*): $ \Omega\setminus(A \cup B) = \underbrace{(\Omega \setminus A)}_{\in \mathfrak{A}} \cap \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}} $

Für $ A,B \in \mathfrak{A} $ gilt: $ A \cap B = A \setminus \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}} \in \mathfrak{A} $

Damit folgt auch $ (\Omega \setminus A) \cap (\Omega \setminus B) \in \mathfrak{A} \Rightarrow \Omega \setminus (A \cup B) \in \mathfrak{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A} $

SuchbegriffeBearbeiten

sigma-Algebra, Potenzmenge

QuellenBearbeiten

Keine Quellen

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