Sigma-Algebra

Aufgabe ($\sigma$-Algebra Grundeigenschaften)

Es sei $\Omega \neq \emptyset$, und es sei $\mathfrak{A}$ ein endliches Teilsystem der Potenzmenge von $\Omega$ mit den Eigenschaften:

• (1) $\Omega \in \mathfrak{A}$
• (2) $A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A\setminus{B} \in \mathfrak{A}$.

Man prüfe, ob $\mathfrak{A}$ unter diesen Voraussetzungen stets eine $\sigma$-Algebra ist.

Tipps

Wende die Definition der $\sigma$-Algebra an.

Lösung

Weise die drei definierenden Eigenschaften einer $\sigma$-Algebra nach:

1) $\Omega \in \mathfrak{A}$ nach (1)

2) $A \in \mathfrak{A} \Rightarrow \Omega\setminus{A} \in \mathfrak{A}$ nach (1),(2)

3) $A_1,A_2,.. \in \mathfrak{A}$. Da $\mathfrak{A}$ endlich ist, gibt es unter den Mengen $A_i$ nur endlich viele verschiedene.

O.B.d.A. seien dies $A_1,..,A_n \in \mathfrak{A}$, zu zeigen bleibt: $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathfrak{A}$

Hierzu genügt es, zu zeigen: $A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A}$

Betrachte (*): $\Omega\setminus(A \cup B) = \underbrace{(\Omega \setminus A)}_{\in \mathfrak{A}} \cap \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}}$

Für $A,B \in \mathfrak{A}$ gilt: $A \cap B = A \setminus \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}} \in \mathfrak{A}$

Damit folgt auch $(\Omega \setminus A) \cap (\Omega \setminus B) \in \mathfrak{A} \Rightarrow \Omega \setminus (A \cup B) \in \mathfrak{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A}$

Suchbegriffe

sigma-Algebra, Potenzmenge

Quellen

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