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$ L_1 $- und $ L_\infty $-Norm für stetige FunktionenBearbeiten

  1. Für $ f\in C([a,b]) $, $ a<b\, $, zeige man $ ||f||_1\leq (b-a)||f||_\infty $.
  2. Aus $ ||f_n-f||_\infty\to0 $ folgt $ ||f_n-f||_1\to0 $, aber nicht umgekehrt.

LösungBearbeiten

  1. $ ||f||_1=\int\limits_a^b|f(x)|dx\leq(b-a)\sup\limits_{t\in[a,b]}|f(t)|=(b-a)||f||_\infty $
  2. $ ||f_n-f||_1\leq(b-a)||f_n-f||_\infty\to0 $.
    Für die Funktionenfolge $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in C([0,1]) $, $ f_n(x)=\sup\{1-nx,0\} $, gilt jedoch $ ||f_n-0||_1=\frac1n\to0 $, aber $ ||f_n-0||_\infty=1 $

SuchbegriffeBearbeiten

Leins-Norm, Lunendlich-Norm, Supremumsnorm, Normverträglichkeit, stetige Funktionen

QuelleBearbeiten

Mathematik für Physiker, SS06, TU München