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L_1- und L_\infty-Norm für stetige FunktionenBearbeiten

  1. Für f\in C([a,b]), a<b\,, zeige man ||f||_1\leq (b-a)||f||_\infty.
  2. Aus ||f_n-f||_\infty\to0 folgt ||f_n-f||_1\to0, aber nicht umgekehrt.

LösungBearbeiten

  1. ||f||_1=\int\limits_a^b|f(x)|dx\leq(b-a)\sup\limits_{t\in[a,b]}|f(t)|=(b-a)||f||_\infty
  2. ||f_n-f||_1\leq(b-a)||f_n-f||_\infty\to0.
    Für die Funktionenfolge (f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in C([0,1]), f_n(x)=\sup\{1-nx,0\}, gilt jedoch ||f_n-0||_1=\frac1n\to0, aber ||f_n-0||_\infty=1

SuchbegriffeBearbeiten

Leins-Norm, Lunendlich-Norm, Supremumsnorm, Normverträglichkeit, stetige Funktionen

QuelleBearbeiten

Mathematik für Physiker, SS06, TU München

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