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Aufgabe (abgeschl. TM eines vollst. metr. Raumes)Bearbeiten

Sei $ (X,d) $ ein vollständiger metrischer Raum und $ Y \subset X $ abgeschlossen, so ist auch $ (Y,d) $ ein vollständiger metrischer Raum.

TippsBearbeiten

benutze Cauchyfolgen

LösungBearbeiten

zu zeigen: Ist $ \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} $ eine Cauchfolge in $ Y $, so existiert $ y \in Y $ mit $ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n =y $.

Beweis: Sei $ \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} $ Cauchy-Folge in $ Y \Rightarrow \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} $ ist Cauchy-Folge in X $ \Rightarrow \exists x \in X $ mit $ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n =x $. $ Y $ ist aber abgeschlossen $ \Rightarrow x \in Y $. q.e.d.

SuchbegriffeBearbeiten

Vollständig metrischer Raum, Banachraum, abgeschlossene Teilmenge, abgeschlossen

QuellenBearbeiten

keine bekannten Quellen

ähnliche AufgabenBearbeiten