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Aufgabe (abgeschl. TM eines vollst. metr. Raumes)Bearbeiten

Sei (X,d) ein vollständiger metrischer Raum und Y \subset X abgeschlossen, so ist auch (Y,d) ein vollständiger metrischer Raum.

TippsBearbeiten

benutze Cauchyfolgen

LösungBearbeiten

zu zeigen: Ist \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} eine Cauchfolge in Y, so existiert y \in Y mit \lim_{n \rightarrow \infty} y_n =y.

Beweis: Sei \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} Cauchy-Folge in Y \Rightarrow \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} ist Cauchy-Folge in X \Rightarrow \exists x \in X mit \lim_{n \rightarrow \infty} y_n =x. Y ist aber abgeschlossen \Rightarrow x \in Y. q.e.d.

SuchbegriffeBearbeiten

Vollständig metrischer Raum, Banachraum, abgeschlossene Teilmenge, abgeschlossen

QuellenBearbeiten

keine bekannten Quellen

ähnliche AufgabenBearbeiten

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