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Dies ist die Lösung von Aufgabe Wackeltisch.

Der Boden wird durch den Graphen einer stetigen Funktion f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} beschrieben. Die vier Fußpunkte des Tisches werden im Uhrzeigersinn mit A,B,C,D\in\mathbb{R}^3 benannt. ABCD\, bildet ein perfektes Quadrat im \mathbb{R}^3. Zur Zeit t=-1\, berühren drei Fußpunkte den Boden, sagen wir A\,, B\, und C\,. Der vierte Fuß D\, schwebt über dem Boden. Dreht man den Tisch um die Achse AB\,, so dass zur Zeit t=0\, der Fußpunkt D\, den Boden berührt, liegt C\, notwendigerweise unterhalb des Graphen (Voraussetzung ist, dass der Gradient von f\, nicht zu groß ist, z.B. |\nabla f|\leq\frac12). Wir drehen den Tisch nun um 90 Grad, so dass A\,, B\, und D\, die ganze Zeit den Boden berühren und am Ende, zur Zeit t=1\, der Fußpunkt A\, sich an der ursprünglichen Position von B\,, B\, bei C\, und D\, bei A\, befindet. Somit muss sich auch C\, an der t=-1\,-Position von D\, befinden, nämlich oberhalb des Bodens. Da sich C\, zur Zeit t=0\, unterhalb, zur Zeit t=1\, jedoch oberhalb des Bodens befindet, muss nach dem Zwischenwertsatz eine Position durchlaufen werden in der C\, den Boden berührt. So aufgestellt, wackelt der Tisch nicht!

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