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Dies ist die Lösung von Aufgabe Wackeltisch.

Der Boden wird durch den Graphen einer stetigen Funktion $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} $ beschrieben. Die vier Fußpunkte des Tisches werden im Uhrzeigersinn mit $ A,B,C,D\in\mathbb{R}^3 $ benannt. $ ABCD\, $ bildet ein perfektes Quadrat im $ \mathbb{R}^3 $. Zur Zeit $ t=-1\, $ berühren drei Fußpunkte den Boden, sagen wir $ A\, $, $ B\, $ und $ C\, $. Der vierte Fuß $ D\, $ schwebt über dem Boden. Dreht man den Tisch um die Achse $ AB\, $, so dass zur Zeit $ t=0\, $ der Fußpunkt $ D\, $ den Boden berührt, liegt $ C\, $ notwendigerweise unterhalb des Graphen (Voraussetzung ist, dass der Gradient von $ f\, $ nicht zu groß ist, z.B. $ |\nabla f|\leq\frac12 $). Wir drehen den Tisch nun um 90 Grad, so dass $ A\, $, $ B\, $ und $ D\, $ die ganze Zeit den Boden berühren und am Ende, zur Zeit $ t=1\, $ der Fußpunkt $ A\, $ sich an der ursprünglichen Position von $ B\, $, $ B\, $ bei $ C\, $ und $ D\, $ bei $ A\, $ befindet. Somit muss sich auch $ C\, $ an der $ t=-1\, $-Position von $ D\, $ befinden, nämlich oberhalb des Bodens. Da sich $ C\, $ zur Zeit $ t=0\, $ unterhalb, zur Zeit $ t=1\, $ jedoch oberhalb des Bodens befindet, muss nach dem Zwischenwertsatz eine Position durchlaufen werden in der $ C\, $ den Boden berührt. So aufgestellt, wackelt der Tisch nicht!